2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科），共14页。
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合，，，0，1，，则　　A．， B．， C．， D．，，2．（5分）下列复数为纯虚数的是　　A． B． C． D．3．（5分）下列函数中，是奇函数且存在零点的是　　A． B． C． D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入，，则输出的等于　　A．3 B．12 C．60 D．3605．（5分）“”是“函数的图象关于直线对称”的　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为　　A．2 B． C． D．37．（5分）在极坐标系中，下列方程为圆的切线方程的是　　A． B． C． D．8．（5分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则的值所在的区间为　　A． B． C． D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若，满足，则的最小值为　　．10．（5分）已知双曲线的一个焦点为，，则　　．11．（5分）若等差数列和等比数列满足，，，试写出一组满足条件的数列和的通项公式：　　，　　．12．（5分）在菱形中，若，则的值为　　．13．（5分）函数在区间上的最大值为　　．14．（5分）已知函数为定义域为，设．①若，则（1）　　；②若，且对任意，，则实数的取值范围为　　．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在中，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若的面积为，求的值．16．（13分）某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：，，，，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在，的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在，的样本学生中随机抽取3人，记为抽到女生的人数，求的分布列与数学期望．17．（14分）如图1，在四边形中，，，，分别为，的中点，，．将四边形沿折起，使平面平面（如图，是的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求二面角的大小．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）当时，若曲线在直线的上方，求实数的取值范围．19．（13分）已知椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），点关于的对称点为，直线与交于另一点．设为原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．20．（14分）对给定的，记由数列构成的集合．（Ⅰ）若数列（2），写出的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合（d），若．求证：存在整数，使得对（d）中的任意数列，整数不是数列中的项；（Ⅲ）已知数列，（d），记，的前项和分别为，．若，求证：．
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【解答】解：集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，，，故选：．【解答】解：，，，．为纯虚数的是．故选：．【解答】解：对于选项为奇函数，且存在零点为，与题意相符，对于选项为非奇非偶函数，与题意不符，对于选项为偶函数，与题意不符，对于选项不存在零点，与题意不符，故选：．【解答】解：模拟执行程序，可得，，，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为60．故选：．【解答】解：若函数的图象关于直线，则，得，当时，，即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，故选：．【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥，其中底面，，，，，在该三棱锥中，最长的棱长为．故选：．【解答】解：圆，即，圆的直角坐标方程为，即，圆心为，半径，在中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故错误；在中，是圆，不是直线，故错误；在中，即，圆心到的距离，故是圆的切线，故正确；在中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故错误．故选：．【解答】解：，，，，，，，的值所在的区间为，故选：．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【解答】解：作出，满足对应的平面区域，由，得，平移直线，由，解得由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时．故答案为：4．【解答】解：双曲线的一个焦点为，，即，解得，故答案为：3．【解答】解：等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，，，，可得，即为，可取，可得，则；．故答案为：，2．【解答】解：菱形中，， 则．故答案为：．【解答】解：函数；上当时，取得最大值为．故答案为：【解答】解：①若，由，可得，成立，即有，则（1）；②若，且对任意，，可得恒成立，即为，即有，可得，即，由的最小值为，则．故答案为：，，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在中，由正弦定理可得：，所以：，又，．（5分）（Ⅱ）因为的面积为，，．．（13分）【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由，可得（3分）（Ⅱ），即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．（6分）（Ⅲ）课外阅读时间在，的学生样本的频率为，，即阅读时间在，的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，；　；；  ．所以的分布列为：0123故的期望（13分）【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，，可得为等腰直角三角形，．因为，所以，．因为平面平面，且两平面交于，平面，所以平面．又平面，故；由为中点，可知四边形为正方形，所以；又，所以平面．又平面，所以（4分）解：由（Ⅰ）知：，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设，则，0，，，2，，，0，，，1，．设是线段上一点，．．由（Ⅰ）知为平面的法向量，，2，，因为平面，，即，，，2，．．（9分）设，0，，，0，，，0，．由可得，．，设平面的法向量为，，，由令，则，．于是，1，．．所以二面角的大小为（14分）【解答】解：（Ⅰ） 当时，，其导数，．又因为，所以曲线在点，处的切线方程为；（Ⅱ）根据题意，当时，“曲线在直线的上方”等价于“恒成立”，又由，则，则原问题等价于恒成立；设，则，又由，则，则函数在区间上递减，又由，则有，若恒成立，必有，即的取值范围为，．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆 过点，可得．所以，所以椭圆的方程为，离心率，（Ⅱ）直线与直线平行．证明如下：设直线，，设点的坐标为，，，，由得，，同理，所以，由，有，因为在第四象限，所以，且不在直线上．，又，故，所以直线与直线平行．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由于数列（2），即，．由已知有，所以，，将代入得的所有可能取值为，，1，5．（4分）证明：（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列：若（d），则具有，的形式．①当时，，因此时结论成立．②假设当时结论成立，即存在整数，使得成立．当时，，，或，所以当时结论也成立．由①②可知，若数列（d）对任意，具有的形式．由于具有的形式，以及，可得不是的整数倍．故取整数，则整数均不是数列中的项（9分）（Ⅲ）由，可得：，所以有，，，，以上各式相加可得，即，同理，当时，有，，，，．（14分）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/17 21:24:59；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267