2018-2019学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，集合，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一个卖出热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程为，如果某天气温为，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是　　

A．140 B．143 C．152 D．156

3．（5分）已知为虚数单位，复数满足，则复数等于　　

A． B． C． D．

4．（5分）等差数列的前项和为，若，则等于　　

A．52 B．54 C．56 D．58

5．（5分）“直线，不相交”是“直线，为异面直线”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）执行如图的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是　　

A． B． C． D．

7．（5分）非零向量，满足；，，则与夹角的大小为　　

A． B． C． D．

8．（5分）一个圆柱被一个平面截成体积相等的两部分几何体，如图，其中一部分几何体的主视图为等腰直角三角形，俯视图是直径为2的圆，则该圆柱外接球的表面积是　　

A．8 B． C． D．

9．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形区域中，、分别为、的中点，在、两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以、为直径的圆，在扇形内随机取一点，则此点无信号的概率是　　

A． B． C． D．

10．（5分）已知函数，，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围　　

A． B． C． D．

11．（5分）曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心，为半径作，若点关于直线的对称点落在上，则该双曲线的离心率为　　

A．3 B． C．2 D．

12．（5分）长方体中，，是的中点，，设过点、、的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角的正切值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．（5分）若变量、满足约束条件，则的取值范围是　　．

14．（5分）要将甲、乙、丙、丁四位老师分配到、、、四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到班，则共有分配方案的种数为　　．

15．（5分）已知函数，则的解集为　　．

16．（5分）已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，，，则　　．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知等差数列的前项和为，且，．

（1）求与；

（2）设数列满足，求的前项和．

18．（12分）已知函数．

（1）若的三个内角、、的对边分别为、，，锐角满足，求锐角的大小．

（2）在（1）的条件下，若的外接圆半径为1，求的面积的最大值．

19．（12分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．

（1）证明：；

（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．

20．（12分）每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南某地区年10年间梅雨季节的降雨量（单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：

（1）假设每年的梅雨季节天气相互独立，求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率．

（2）老李在该地区承包了20亩土地种植杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元．而乙品种杨梅的亩产量亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为（元，请你帮助老李分析，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润（万元）的期望更大？并说明理由．

21．（12分）椭圆的离心率是，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的动直线与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

22．（12分）已知函数，是常数且．

（1）若曲线在处的切线经过点，求的值；

（2）若是自然对数的底数），试证明：①函数有两个零点，②函数的两个零点，满足．

2018-2019学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【解答】解：，或；

．

故选：．

【解答】解：热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程为，

某天气温为时，即，

则该小卖部大约能卖出热饮的杯数．

故选：．

【解答】解：由，即，

得，．

故选：．

【解答】解：等差数列中，

，

，解得，

．

故选：．

【解答】解：“直线、不相交”时，

“直线、为异面直线或平行直线”，

故“直线、不相交”是“直线、为异面直线或平行直线”的必要不充分条件，

故选：．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

，

满足判断框内的条件，执行循环体，，，

满足判断框内的条件，执行循环体，，，

满足判断框内的条件，执行循环体，，，

满足判断框内的条件，执行循环体，，，

由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的值为10．

可得判断框内的条件为？．

故选：．

【解答】解：根据题意，设，，则，

若，，即，且，

则为等腰直角三角形，

则与的夹角为，

故选：．

【解答】解：根据几何体的三视图：

转换为几何体为圆柱的一半，

故：圆柱的外接球的半径为：，

故球的表面积为：．

故选：

故选：．

【解答】解：的中点是，则，半径为

，，

，

，

两个圆的弧围成的阴影部分的面积为，

图中无信号部分的面积为，

无信号部分的概率是：．

故选：．

【解答】解：函数，，其图象与直线相邻两个交点的距离为，

，．

若对任意恒成立，则时，，

，求得，综合可得，

故选：．

【解答】解：的圆心为，半径为，

若点关于直线的对称点落在上，

设，，

可得，，

解得，，

由，

结合，

化简可得，

则．

故选：．

【解答】解：延长，交延长线于点，延长，交延长线于点，连结，

则是过点、、的平面与平面的交线，

，是直线与直线所成角（或所成角的补角），

设，是的中点，，

，，，

，，即，，

解得，，，，

．

直线与直线所成角的正切值为4．

故选：．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

【解答】解：画出不等式组对应的平面区域如图所示阴影部分；

由得，即直线的截距最大，也最大；

平移直线，即直线经过点时，

截距最大，此时最大，为；

经过点时，截距最小，

由，得，

即，此时最小，为；

，即的取值范围是，．

故答案为：，．

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①，先安排甲，由于甲不能分配到班，则甲可以分到、、班，有3种情况，

②，将乙、丙、丁全排列，分配到剩下的三个班级，有种情况，

则一共有种分配方案；

故答案为：18．

【解答】解：由，

即

当时，可得，

可得：；

当时，可得，

显然恒成立

综上可得的解集为，；

故答案为：，；

【解答】                    解：函数的图象关于对称，直线过，．

所以的图象与直线直线在恰有三个公共点如图所示，

且内相切，其切点为，，．

由于，，所以，，

即．

则．

故答案为：．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

【解答】解：（1）等差数列的公差设为，由，，

可得，，

解得，，

则；；

（2），

则前项和

．

【解答】解：（1），

，

又为锐角，

．

（2）的外接圆半径为1，

由正弦定理得，得，

所以，

即，

即．

则三角形的面积，时取等号）．

故三角形面积最大值为．

【解答】解：（1）取的中点为，连接，，

为等边三角形，．

底面中，可得四边形为矩形，，

，平面，

平面，．

又，所以（6分）

（2）由面面，知，平面，，，两两垂直，

直线与平面所成角为，即，由，知，得．

分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，1，，，0，，，，，，，

设平面的法向量为，，则（8分）

设平面的法向量为，，则（10分）．

，

二面角的余弦值为（12分）

【解答】解：（Ⅰ）频率分布直方图中第四组的频率为，

则江南镇在梅雨季节时降雨量超过的概率为，

所以镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为

（或；

（Ⅱ）根据题意，总利润为（元，其中，700，600，400；

所以随机变量（万元）的分布列如下图所示；

则总利润（万元）的数学期望为

（万元），

因为，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大．

【解答】解：（1），

解得，，所以椭圆的方程为：；

（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，

由得，△，

设，

假设存在定点符合题意，，，

，

上式对任意实数恒等于零，，即，．

当直线斜率不存在时，，两点分别为椭圆的上下顶点，，

显然此时，综上，存在定点满足题意

【解答】（1）解：切线的斜率（1）（1），，

即，解得；

（2）证明：①由，得，

当时，；当时，，

在处取得最大值，（1），

，，在区间有零点，

在区间单调递增，在区间有唯一零点．

由幂函数与对数函数单调性比较及的单调性知，在区间有唯一零点，从而函数有两个零点．

②不妨设，作函数，，

则，．

，即，，

又，．

，

，

在区间单调递减，

，．

又，，

．

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日期：2019/12/17 21:23:16；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267