2018-2019学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）

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2018-2019学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合，，0，1，，则　　A．， B．， C．， D．，1，2．（5分）设是虚数单位，复数，则的共轭复数为　　A． B． C． D．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为　　A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）下列函数中为偶函数的是　　A． B． C． D．5．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为　　A． B． C． D．6．（5分）已知向量，则下列关系正确的是　　A． B． C． D．7．（5分）在中，，，，则的面积为　　A． B． C． D．8．（5分）已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是　　A．当时，有4个零点；当时，有1个零点 B．当时，有3个零点；当时，有2个零点 C．无论为何值，均有2个零点 D．无论为何值，均有4个零点二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在的展开式中，的系数为　 　．（用数字作答）10．（5分）设为等差数列的前项和，，，则其通项公式　　．11．（5分）若变量，满足约束条件，则的最小值等于　　．12．（5分）写出“”的一个充分不必要条件　　．13．（5分）已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的离心率是　 　．14．（5分）2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行．不过，为了让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元月提高至5000元月，并按新的税率表（见附录）计算纳税．按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下：月份纳税所得额起征额应纳税额适用税率速算扣除数税款税后工资96000350025001051455855106000500010000305970（相关计算公式为：应纳税额纳税所得额起征额，税款应纳税额适用税率速算扣除数，税后工资纳税所得额税款）（1）某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为　　元；（2）某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为　　元． 附录：原税率表（执行至2018年9月） 新税率表年10月起执行）应纳税额税率速算扣除数 应纳税额税率速算扣除数不超过1500元0元 不超过3000元0元1500元至4500元105元 3000元至12000元210元4500元至9000元555元 12000元至25000元1410元9000元至35000元1005元 25000元至35000元2660元 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设，求函数在区间上的最小值．16．（13分）2018年9月，某校高一年级新入学有360名学生，其中200名男生，160名女生．学校计划为家远的高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍，每间宿舍可住2名同学．该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取40名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位：如下：5677.588.443.54.54.35432.541.666.55.55.73.15.24.456.43.57433.46.94.85.655.66.53676.6（Ⅰ）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居住地与学校距离为，他是否能住宿？说明理由；（Ⅱ）通过计算得到男生样本数据平均值为，女生样本数据平均值为，求所有样本数据的平均值；（Ⅲ）已知能够住宿的女生中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率．17．（14分）如图，在中，，，．可以通过以直线为轴旋转得到，且，动点在斜边上．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当为的中点时，求二面角的余弦值；（Ⅲ）求与平面所成的角中最大角的正弦值．18．（14分）已知抛物线经过点，其焦点为．为抛物线上除了原点外的任一点，过的直线与轴，轴分别交于，．（Ⅰ）求抛物线的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若与的面积相等，求证：直线是抛物线的切线．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；（Ⅱ）当时，若有极小值，求实数的取值范围．20．（13分）将1至这个自然数随机填入方格的个方格中，每个方格恰填一个数．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于．
2018-2019学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【解答】解：，，0，1，；，1，．故选：．【解答】解：，的共轭复数为：．故选：．【解答】解：模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，满足条件，退出循环，输出的值为4．故选：．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，有，即函数为奇函数；对于，，有，是偶函数；对于，，有，为奇函数；对于，，有，不是偶函数，故选：．【解答】解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥，所以三棱锥的体积为：．故选：．【解答】解：；；不与垂直；错误；；不与垂直；错误；又；；正确．故选：．【解答】解：，，，由正弦定理可得：，，为锐角，，可得：，．故选：．【解答】解：分四种情况讨论．（1）时，，，此时的零点为（2）时，，，则时，有一个零点，时，没有零点，（3）若，时，，则时，有一个零点，时，没有零点，（4）若，时，，则时，有一个零点，时，没有零点，综上可知，当时，有4个零点；当时，有1个零点故选：．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【解答】解：在的展开式中，的系数为，故答案为：80．【解答】解：根据题意得，，，，，，，故答案为：．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域如图阴影部分，由，求得点，代入中求得最小值为．故答案为：4．【解答】解：，的一个充分不必要条件只需是的真子集，是答案之一．故答案为：；（答案不唯一）．【解答】解：据已知条件中的焦点坐标判断出焦点在轴上，设双曲线的方程为一个焦点为，①线段的中点坐标为，的坐标为，将其代入双曲线的方程得②解①②得，，所以双曲线的方程为．双曲线的离心率为：．故答案为：．【解答】解：（1）根据题意，某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，则甲的应纳税额对应的税率为，速算扣除数为105，那么他9月份的税款为元；（2）根据题意，设乙的工资为元，个税改革之前其应缴的个税为元，个税改革之后其应缴的个税为元，则，，若职工乙2018年10月税后工资为14660元，即，分析可得有，解可得，该职工的税款元，在个税改革之前，该职工的税款元，则职工乙享受减税红利为元；故答案为：（1）95，（2）1155．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【解答】解：（Ⅰ）由图可得，，所以，．当时，，可得，，．．（Ⅱ）．，．当，即时，有最小值为．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）能住宿．因为200名男生中有10名男生能住宿，所以40名男生样本中有2名男生能住宿．样本数据中距离为和的男生可以住宿，距离为以下的男生不可以住宿，由于，所以男生甲能住宿．（Ⅱ）根据分层抽样的原则，抽取女生样本数为32人．所有样本数据平均值为．（Ⅲ）解法一：记住宿的双胞胎为，，其他住宿女生为，，，，，．考虑的室友，共有，，，，，，七种情况，所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为．解法二：设“双胞胎姐妹被分到同一宿舍”为事件，则． 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为．【解答】（本小题14分）证明：（Ⅰ）在中，，，且，平面，又平面，平面平面．解：（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，为的中点，，0，，，0，，，1，，，0，，，，，，设为平面的法向量，即令，则，是平面的一个法向量，设为平面的法向量，即令，则，，是平面的一个法向量，，二面角的余弦值为．（Ⅲ）解法一：平面，为与平面所成的角，，点到直线的距离最小时，的正弦值最大，即当时，的正弦值最大，此时，，与平面所成的角中最大角的正弦值为．解法二：设，所以，，．．平面的法向量，当时，与平面所成的角最大，．与平面所成的角中最大角的正弦值为．【解答】（本小题14分）解：（Ⅰ）因为抛物线经过点，所以，．所以抛物线的方程为，焦点点坐标为．证明：（Ⅱ）因为与的面积相等，所以，所以为的中点．设，，则，．所以直线的方程为，与抛物线联立得：，，所以直线是抛物线的切线．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）当时，，．（1），（1），所以在处的切线方程为．（Ⅱ）有极小值函数有左负右正的变号零点令，则令，解得．，，的变化情况如下表：0减极小值增①若，即，则，所以不存在变号零点，不合题意．②若，即时，（a），（1）．所以，使得；且当时，，当，时，．所以当时，，，的变化情况如下表：，0减极小值增所以．【解答】解：（Ⅰ）当时，如下表填数：同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为2，，3，2，可得此填数法的“特征值”为；（Ⅱ）当时，如下表填数：同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为4，3，，5，9，，，，，，，，8，3，，，，，可得此填数法的“特征值”为；（Ⅲ）不妨设为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为（A），考虑含个元素的集合，，，，，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为也必有至少两个数处于同一列，设为．①若则有（因为．②若，即，则，．所以．即不论何种情况，总有．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/17 21:17:51；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267