2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡上用2B铅笔将正确选项的代号涂黑.

1．（5分）已知集合，，，，若有三个元素，则　　

A．， B．， C． D．

2．（5分）若复数，且，则实数的值等于　　

A．1 B． C． D．

3．（5分）已知条件甲：，条件乙：且，则甲是乙的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）已知数列满足，且，则　　

A． B．3 C． D．

5．（5分）已知非零向量，满足，，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

6．（5分）函数的图象可能是下列哪一个？　　

A． B． 

C． D．

7．（5分）在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．

8．（5分）执行如图所示的程序，若所得结果为70，则判断框中应填入　　

A． B． C． D．

9．（5分）已知函数，那么下列命题中假命题是　　

A．既不是奇函数也不是偶函数 

B．在，上恰有一个零点 

C．是周期函数 

D．在上是增函数

10．（5分）如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成△平面，若、分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是　　

A．与平面垂直的直线必与直线垂直 

B．异面直线与所成角是定值 

C．一定存在某个位置，使 

D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值

11．（5分）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．

12．（5分）若函数满足，且，则的解集是　　

A． B． C． D．，

二、填空题：共4小题，每题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上

13．（5分）设，3，5，，，4，，则函数是增函数的概率为　 　．

14．（5分）已知正实数，满足，则的最小值是　　．

15．（5分）某考古队发现一处石器时代的史前遗迹，其中有一样工具，其模型的三视图如图所示，则根据此三视图计算出的几何体的体积为　　．

16．（5分）定义：对于实数和两定点，，在某图形上恰有个不同的点，使得，称该图形满足“度契合”．若边长为4的正方形中，，，且该正方形满足“4度契合”，则实数的取值范围是　　．

三、解答题：本大题共6个小题，满分58分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17．（10分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求；

（2）求的值．

18．（12分）如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且．

（1）当时，求异面直线与所成角的大小；

（2）设平面与平面所成二面角的大小为，求的取值范围．

19．（12分）进入二十一世纪以来，科技发展日新月异，工业生产更加依赖科技的发展，沈阳某企业积极进行升级，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在，内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．

表1：设备改造后样本的频数分布表

（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：

（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较．

附：

．

20．（12分）已知抛物线的方程，焦点为，已知点在上，且点到点的距离比它到轴的距离大1．

（1）试求出抛物线的方程；

（2）若抛物线上存在两动点，，在对称轴两侧），满足为坐标原点），过点作直线交于，两点，若，线段上是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数，（其中．

（1）求的单调减区间；

（2）当时，恒成立，求的取值范围；

（3）设，为的导函数，若只有两个零点，（其中，求的值．

[选做题]

22．已知曲线的参数方程为为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；

（2）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值．

[选做题]

23．，．

（1）当时，求出的最大值．

（2）若的最大值为2，试求出此时的正实数的值．

2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡上用2B铅笔将正确选项的代号涂黑.

【解答】解：集合，，，，有三个元素，

，解得或（舍，

，，，，

．

故选：．

【解答】解：，且，

，

则，即．

故选：．

【解答】解：由得，

，，

则，即，异号，

则，，

则甲是乙的必要不充分条件，

故选：．

【解答】解：根据题意数列满足，数列满足，数列为等差数列，且其公差为：，

，则，解得．

；

．

故选：．

【解答】解：设与的夹角为，，，则

由题知

，

故选：．

【解答】解：函数，

则是奇函数，图象关于原点对称，排除，

由得，则，则，则轴右侧第一个零点为1，

则，排除．

，

则，排除，

故选：．

【解答】解：由得，即的轨迹是以为圆心半径为1的圆，

由得，

即的轨迹是以为圆心半径为1的圆，

的几何意义为的斜率，

由图象知，斜率的最值为两圆的内公切线，

，的中点，

设的斜率为，则过的内公切线方程为，

即，

圆心的直线的距离，

平方得，

即，

得，

即斜率的最大值为，最小值为，

即的取值范围是，，

故选：．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

，，

执行循环体，，，

不满足判断框内的条件，执行循环体，，，

不满足判断框内的条件，执行循环体，，，

不满足判断框内的条件，执行循环体，，，

不满足判断框内的条件，执行循环体，，，

由题意，此时满足判断框内的条件，退出循环，输出的值为70．

可得判断框内的条件为？

故选：．

【解答】解：，

，

故既不是奇函数也不是偶函数，即是真命题；

由，

得，

在，上恰有2个零点，即是假命题；

，

是周期函数，即是真命题；

，

在上是增函数，即是真命题．

故选：．

【解答】解：对于，延长，交于，连接，由为的中点，

可得为的中点，又为的中点，可得，平面，

平面，则平面，故与平面垂直的直线必与直线垂直，则正确；

对于，设，过作，平面，

则，

在△中，，，，则为定值，即为定值，则正确；

对于，连接，可得，若，即有平面，

即有，由在平面中的射影为，

可得与垂直，但与不垂直．

则不存在某个位置，使，则不正确；

对于，连接，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得

三棱锥外接球球心为，半径为，

即有三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值．则正确．

故选：．

【解答】解：抛物线的标准方程为，

则抛物线的焦点为，准线方程为，

过作准线的垂线，垂足为，

则由抛物线的定义可得，

，，

设的倾斜角为，则，

当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，

设直线的方程为，代入，

可得，

即，

△，，

，，

．

点恰好在以，为焦点的椭圆上，可得：

，，

即有．

故选：．

【解答】解：由，整理得，即，

两边积分，

整理得：，

，代入求得，

，

，令，，

，

单调递增，

由，，

，

由，整理得：，

由函数单调性递增，即，

由，单调递增，则，

不等式的解集，

故选：．

二、填空题：共4小题，每题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上

【解答】解：的所有取值有：共12个值，

当时，为增函数

有共有6个

函数是增函数的概率为

故答案为

【解答】解：正实数，满足，

，即

，当且仅当，时取等号，

故的最小值是9，

故答案为：9

【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：

多面体看做是一个棱柱与两个三棱锥的组合体，求解即可．

所求几何体的体积为：．

故答案为：32．

【解答】解，如图建立平面直角坐标系，可得，，

设，由，可得，

即点的运动轨迹是以为圆心，半径的圆，只需该圆与正方形有4个交点即可．

如图：当，即时（图中从内往外第一个圆），有4个交点；

当动圆在图中第二个与第三个之间（从内往外第一个圆）时有4个交点，此时：

，．

答案为：或．

三、解答题：本大题共6个小题，满分58分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

【解答】解：（1）中，角，，的对边分别为，，，

已知，

则：，

故：．

（2）由于，

则：．

利用正弦定理：，

解得：，

所以：．

则：．

【解答】解：（1）在中，，，，

则，

，，

四边形为菱形，，

平面平面，平面平面，

平面，平面，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，，，，，，，0，，

当时，，，，，

，，，，0，，

，，

异面直线与所成角的大小为．

（2）平面的一个法向量，1，，

设，，，

由，，，，，

得，，，

，，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，

，，

，，．

【解答】解：（1）根据题意填写列联表如下；

根据表中数据，计算，

所以有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；

（2）根据频率分布直方图和频率分布表知，设备改造前产品为合格品的概率为，

设备改造后产品为合格品的概率为，

显然设备改造后产品合格率更高；因此设备改造后性能更优．

【解答】解：（1）由题意和抛物线定义可得，即，

抛物线的方程为，

（2）由题意可知，，

设，，，，，

由，

，即，

直线的斜率，

直线的方程为，即，

直线，①斜率存在，设斜率为，则，与联立可得，

，

设点存在，并设为，，

则，

，

，

解得，（不是定点，舍去），

则点，经检验，此点满足，所以在线段上，

②若斜率不存在，则，，此时点满足题意，

综上所述，定点为

【解答】解：（1），

令，解得，

函数在，上单调递减．

（2）当时，恒成立，即

恒成立，

也就是恒成立．

令．则，．

①当时，，在上为增函数，，

在上为增函数，则，即恒成立；

②当时，用反证法证明．

假设此时的最小值仍为，

在上单调递减，且，

在内，在内单调递减，与假设矛盾．

综上，，

（3）

，

令，则，

只有两个零点，（其中，

方程只有两个解，即，

设，

，

令，解得，

当，，时，，函数单调递增，

当，，时，，函数单调递减，

当时，函数有极大值，即为

当时，函数有极小值，即为

分别画出，与的图象，如图所示：

只有两个零点，（其中，

时满足条件，．

．

由，

化为：，

，

化为：，又．

解得：．

．

[选做题]

【解答】解：（1）曲线的极坐标方程为，

，

曲线的直角坐标方程为，

曲线的参数方程为为参数），，

，

曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值为．

（2）由（1）知直线与轴交点的坐标为，

曲线的参数方程为，为参数），

曲线的直角坐标方程为，

联立，得：，

，

．

[选做题]

【解答】解：（1）时，，

；

（2）时，，

，解得．

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日期：2019/12/17 21:15:51；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267