2017-2018学年天津市六校联考（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年天津市六校联考（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高二（上）期末数学试卷（理科），共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年天津市六校联考（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．
1．（5分）（2013•绵阳二模）直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（5分）（2014•河西区三模）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（　　）
A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1
C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1
3．（5分）（2017秋•天津期末）已知空间两点A（2，3，5），B（3，1，4），则A，B两点间的距离为（　　）
A． B． C．3 D．
4．（5分）（2017秋•天津期末）抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P到焦点的距离为3，若点P的横坐标为2，则抛物线方程为（　　）
A．y2＝6x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
5．（5分）（2017秋•天津期末）一个三棱柱的三视图如图所示，正视图为直角三角形，俯视图、侧视图均为矩形，若该三棱柱的各个顶点均在同一个球面上，则这个球的表面积为（　　）

A．244π B．244π C． D．
6．（5分）（2015•红桥区二模）设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　　）
A．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α
B．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β
C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
D．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c
7．（5分）（2017秋•天津期末）下列四个条件中，p是q的充分不必要条件的是（　　）
A．有非零向量，，直线l1，直线l2，p：l1∥l2，q：
B．p：m＝2，q：直线mx+y+2＝0与（m+2）x+my+1＝0平行
C．p：ab＜0，q：ax2+by2＝c为双曲线
D．p：F＝0，q：曲线x2+y2+Dx+Ey+F＝0过原点
8．（5分）（2017秋•天津期末）有如下3个命题；
①双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P到两条渐近线的距离乘积是定值
②双曲线1与（a＞0，b＞0）的离心率分别是e1，e2，则是定值
③过抛物线x2＝2py（p＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A，B，则直线AB过定点
其中正确的命题有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸相应位置上．
9．（5分）（2017秋•天津期末）两条平行线l1：x﹣3y+3＝0与l2：x﹣3y﹣2＝0间的距离为　 　．
10．（5分）（2017秋•天津期末）已知圆的方程是x2+y2＝3，过点A（1，1）的直线l被该圆截得的弦长最短，则直线l的方程是　 　．
11．（5分）（2017秋•天津期末）直线2x+y﹣4＝0关于直线y＝﹣x+1对称的直线方程为　 　．
12．（5分）（2017秋•天津期末）经过坐标原点和点P（1，1），并且圆心在直线2x+3y+1＝0上的圆的方程为　 　．
13．（5分）（2017秋•天津期末）已知双曲线的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为　 　．
14．（5分）（2017秋•天津期末）如图，直角梯形ABCD中，∠DAB＝90°，AB∥CD，CE⊥AB于点E．已知BE＝2AE＝2，∠BCE＝30°．若将直角梯形绕直线AD旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为　 　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）（2017秋•天津期末）已知两点A（3，2），B（﹣1，2），圆C以线段AB为直径．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y＝kx+4，
①若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
②若直线l与圆C相交于P，Q不同的两点，是否存在横坐标为的点M，使点M恰好为线段PQ的中点，若不存在说明理由，若存在求出k值．
16．（13分）（2017秋•天津期末）已知椭圆C：y2＝1．
（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；
（Ⅱ）经过椭圆C的左焦点F1作直线l，直线l与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|，求直线l的方程．
17．（13分）（2017秋•天津期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD＝2AB＝2，E为PB中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面AEC；
（Ⅱ）求异面直线AE与PD所成角的正切值；
（Ⅲ）求AE与底面ABCD所成角的余弦值．

18．（13分）（2017秋•天津期末）在长方体AC1中，已知棱AB＝BC＝1，BB1＝2，连结B1C，过点B作B1C的垂线，垂足为F，交CC1于E．
（Ⅰ）求证：A1B1⊥BE；
（Ⅱ）求证：平面A1B1C⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角C﹣A1B1﹣A的正弦值．

19．（14分）（2017秋•天津期末）已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（），其上顶点B（0，b）与左右焦点F1，F2构成等腰三角形，且∠F1BF2＝120°．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）以点B（0，b）为焦点的抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的一动点P（m，yp），抛物线C在点P处的切线l与椭圆E交于P1P2两点，线段P1P2的中点为D，直线OD（O为坐标原点）与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，问：当0＜m≤b时，△POM面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在说明理由．
20．（14分）（2017秋•天津期末）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC中点．
（Ⅰ）求四棱锥A﹣BDMN的体积；
（Ⅱ）求点C到平面AMN的距离；
（Ⅲ）在线段AN上，是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长，若不存在，请说明理由．


2017-2018学年天津市六校联考（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．
1．（5分）（2013•绵阳二模）直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【考点】I2：直线的倾斜角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
【解答】解：因为直线x+y﹣1＝0的斜率为：，
直线的倾斜角为：α．
所以tanα，
α＝120°
故选：C．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
2．（5分）（2014•河西区三模）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（　　）
A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1
C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，都有有x2+1≥1”，易得到答案．
【解答】解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”
∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：
∃x∈R，使x2+1＜1．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，是解答此类问题的关键．
3．（5分）（2017秋•天津期末）已知空间两点A（2，3，5），B（3，1，4），则A，B两点间的距离为（　　）
A． B． C．3 D．
【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由空间两点A（2，3，5），B（3，1，4），利用两点间距离公式能求出A，B两点间的距离|AB|．
【解答】解：∵空间两点A（2，3，5），B（3，1，4），
∴A，B两点间的距离|AB|．
故选：B．
【点评】本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4．（5分）（2017秋•天津期末）抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P到焦点的距离为3，若点P的横坐标为2，则抛物线方程为（　　）
A．y2＝6x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用抛物线的定义，转化为P到准线的距离为3，即有23，可得抛物线的方程．
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），
准线为x，
由题意可得P到准线的距离为3，点P的横坐标为2，
可得23，解得p＝2，
则抛物线方程为：y2＝4x．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基本知识的考查．
5．（5分）（2017秋•天津期末）一个三棱柱的三视图如图所示，正视图为直角三角形，俯视图、侧视图均为矩形，若该三棱柱的各个顶点均在同一个球面上，则这个球的表面积为（　　）

A．244π B．244π C． D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断几何体的形状，然后扩展为长方体，求出球的半径，即可求解球的表面积．
【解答】解：可将三棱柱补成一个长、宽、高分别是12，8，6的长方体，
则该长方体的外接球的直径d2＝62+82+122＝244，
于是球的表面积等于S球＝4πR2＝πd2＝244π．
故选：A．

【点评】本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
6．（5分）（2015•红桥区二模）设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　　）
A．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α
B．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β
C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
D．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c
【考点】25：四种命题间的逆否关系；2K：命题的真假判断与应用；LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用直线与平面垂直的判定定理判断A的逆命题正误；
通过平面与平面平行的性质定理判断B的逆命题的正误；
利用平面与平面垂直的性质定理判断C的逆命题的正误；
利用直线与平面平行的判定定理判断命题D的逆命题的正误；
【解答】解：对于A，当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α的逆命题为：当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥α，则c⊥a，c⊥b，由直线与平面垂直的性质定理可知逆命题正确；
对于B，当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β的逆命题为：当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若α∥β，则a∥β，b∥β，有直线与平面平行的性质定理可知逆命题正确；
对于C，当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然不正确，可能b与β不垂直，所以逆命题不正确；
对于D，当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c的逆命题为：当b⊂α时，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α；满足直线与平面平行的判定定理，正确；
故选：C．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，直线与平面直线与垂直的判定定理与性质定理的应用，考查逻辑推理能力．
7．（5分）（2017秋•天津期末）下列四个条件中，p是q的充分不必要条件的是（　　）
A．有非零向量，，直线l1，直线l2，p：l1∥l2，q：
B．p：m＝2，q：直线mx+y+2＝0与（m+2）x+my+1＝0平行
C．p：ab＜0，q：ax2+by2＝c为双曲线
D．p：F＝0，q：曲线x2+y2+Dx+Ey+F＝0过原点
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；48：分析法；5L：简易逻辑．
【分析】由向量共线的定义结合充分必要条件的判定方法判断A；由直线mx+y+2＝0与（m+2）x+my+1＝0平行求得m值判断B；由双曲线的定义判断C；直接利用充分必要条件的判定方法判断D．
【解答】解：对于A，由p：l1∥l2，可得与共线，不一定有，
反之，由，得，则与共线，而直线l1，直线l2，则l1∥l2或l1与l2重合，故p是q的既不充分也不必要条件；
对于B，直线mx+y+2＝0与（m+2）x+my+1＝0平行⇔m2﹣（m+2）＝0，则m＝﹣1或m＝2，故p是q的充分不必要条件；
对于C，ab＜0，当0＝0时，ax2+by2＝c为两条直线，由ax2+by2＝c为双曲线，可得ab＜0，则p是q的必要不充分条件；
对于D，由F＝0，可得曲线x2+y2+Dx+Ey+F＝0过原点，反之，由曲线x2+y2+Dx+Ey+F＝0过原点，可得F＝0，故p是q的充要条件．
故选：B．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
8．（5分）（2017秋•天津期末）有如下3个命题；
①双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P到两条渐近线的距离乘积是定值
②双曲线1与（a＞0，b＞0）的离心率分别是e1，e2，则是定值
③过抛物线x2＝2py（p＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A，B，则直线AB过定点
其中正确的命题有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，设出P（m，n），运用点到直线的距离公式，化简可得定值，即可判断①；
运用双曲线的离心率公式和基本量的关系，化简可得定值，可判断②；
可设A（s，），B（t，），求得直线AB的斜率和st＝﹣4p2，运用点斜式方程可得直线AB的方程，化简可得定点，即可判断③．
【解答】解：①双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，设为（m，n），
两条渐近线方程为y＝±x，可得两个距离的乘积为•，
由b2m2﹣a2n2＝a2b2，可得两个距离乘积是定值；
②双曲线1与（a＞0，b＞0）的离心率分别是e1，e2，
即有e12，e22，可得为定值1；
③过抛物线x2＝2py（p＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A，B，
可设A（s，），B（t，），由OA⊥OB可得st0，即有st＝﹣4p2，
kAB，可得直线AB的方程为y（x﹣s），即为yx+2p，
则直线AB过定点（0，2p）．
三个命题都正确．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸相应位置上．
9．（5分）（2017秋•天津期末）两条平行线l1：x﹣3y+3＝0与l2：x﹣3y﹣2＝0间的距离为　　．
【考点】IU：两条平行直线间的距离．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】解：d．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）（2017秋•天津期末）已知圆的方程是x2+y2＝3，过点A（1，1）的直线l被该圆截得的弦长最短，则直线l的方程是　x+y﹣2＝0　．
【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆．
【分析】求出OA所在直线当斜率，可得直线l的斜率，再由直线方程的点斜式求解．
【解答】解：点A（1，1）在圆x2+y2＝3内，
要使过点A（1，1）的直线l被该圆截得的弦长最短，则所求直线与OA垂直，
∵kOA＝1，∴kl＝﹣1．
∴直线l的方程是y﹣1＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣2＝0．
故答案为：x+y﹣2＝0．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．
11．（5分）（2017秋•天津期末）直线2x+y﹣4＝0关于直线y＝﹣x+1对称的直线方程为　x+2y+1＝0　．
【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5B：直线与圆．
【分析】通过点的对称求解即可．
【解答】解：设所求直线上任意一点（x，y）关于直线y＝﹣x+1对称的点为（﹣y+1，﹣x+1），
可知点（﹣y+1，﹣x+1）在直线2x+y﹣4＝0上，
即2（﹣y+1）﹣x+1﹣4＝0，
可得x+2y+1＝0．
即所求直线直线方程为x+2y+1＝0．
故答案为：x+2y+1＝0．
【点评】本题主要考查求一条直线关于已知直线的对称的直线的方程的方法，属于基础题
12．（5分）（2017秋•天津期末）经过坐标原点和点P（1，1），并且圆心在直线2x+3y+1＝0上的圆的方程为　（x﹣4）2+（y+3）2＝25　．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点P（1，1）的中垂线上，再根据圆心在直线2x+3y+1＝0上，可得圆心C的坐标和半径r＝|OC|的值，从而得到所求的圆的方程．
【解答】解：由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点P（1，1）的中垂线x+y﹣1＝0上，
再根据圆心在直线2x+3y+1＝0上，可得圆心C的坐标为（4，﹣3），故半径r＝|OC|＝5，
∴所求的圆的方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25．
故答案为：（x﹣4）2+（y+3）2＝25．
【点评】本题考查直线和圆相交的性质，求圆的标准方程，求出圆心坐标是解题的关键，属于基础题．
13．（5分）（2017秋•天津期末）已知双曲线的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为　　．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y＝±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．
【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e，ca，
则双曲线为等轴双曲线，即a＝b，
双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k，
则1，c＝4，则a＝b＝2，
∴双曲线的标准方程：．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．
14．（5分）（2017秋•天津期末）如图，直角梯形ABCD中，∠DAB＝90°，AB∥CD，CE⊥AB于点E．已知BE＝2AE＝2，∠BCE＝30°．若将直角梯形绕直线AD旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为　π　．

【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4O：定义法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】解法一，计算圆台和圆柱的体积，二者相减即得所求．
解法二，利用割补法将圆台补成一个大圆锥，计算大圆锥、小圆锥和圆柱的体积，从而求得旋转体的体积．
【解答】解法一，旋转后所得圆台的体积为V圆台π（12+32+1×3）×2，
圆柱的体积为V圆柱＝π•12•22π；
则所求旋转体的体积为V2π．
解法二，利用割补法将圆台补成一个大圆锥，
大圆锥的体积为V1π•32•39π，
小圆锥的体积为V2π•12•π，
圆柱的体积为V3＝π•12•22π，
则所求的旋转体的体积为V＝V1﹣V2﹣V3．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间旋转体的体积计算问题，是基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）（2017秋•天津期末）已知两点A（3，2），B（﹣1，2），圆C以线段AB为直径．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y＝kx+4，
①若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
②若直线l与圆C相交于P，Q不同的两点，是否存在横坐标为的点M，使点M恰好为线段PQ的中点，若不存在说明理由，若存在求出k值．
【考点】J9：直线与圆的位置关系；JE：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】（Ⅰ）由已知求出圆的半径及圆心坐标，则圆的方程可求；
（Ⅱ）①直线l：y＝kx+4，若直线l与圆C相切，由圆心到直线的距离等于半径求k，则直线方程可求；
②联立直线方程与圆的方程，整理后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得k的范围，然后结合根与系数的关系及已知求得k值得答案．
【解答】解：（Ⅰ）圆的直径|AB|，故半径为2．
圆心坐标为AB的中点（）＝（1，2），
∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4；
（Ⅱ）①直线l：y＝kx+4，若直线l与圆C相切，
则圆心到直线l的距离d，解得k或k＝0，
∴直线l的方程为4x﹣3y+12＝0或y＝4；
②由方程组，消去y整理得
（k2+1）x2+（4k﹣2）x+1＝0．
若直线l与圆C相交于P，Q不同的两点，则△＝4k（3k﹣4）＞0，
得k或k＜0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．
若，解得k＝3（舍）或k＝3．
∴存在横坐标为的点M，使点M恰好为线段PQ的中点，此时k＝3．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
16．（13分）（2017秋•天津期末）已知椭圆C：y2＝1．
（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；
（Ⅱ）经过椭圆C的左焦点F1作直线l，直线l与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|，求直线l的方程．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的方程可知：，故c＝1，椭圆C的长轴，短轴2b＝2，离心率，左焦点F1（﹣1，0）；
（Ⅱ）设直线l方程y＝k（x+1），代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆，可知a2＝2，b2＝1，则，故c＝1﹣﹣﹣（2分）
∴椭圆C的长轴，短轴2b＝2，离心率，
左焦点F1（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（Ⅱ）设直线l方程y＝k（x+1），联立方程组：，消元得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则由韦达定理可知：，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
则弦长公式：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∴
即
解得：k2＝3，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
∴直线l的方程：或
即或（12分）（两个都写对了才给分，否则扣掉1分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．
17．（13分）（2017秋•天津期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD＝2AB＝2，E为PB中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面AEC；
（Ⅱ）求异面直线AE与PD所成角的正切值；
（Ⅲ）求AE与底面ABCD所成角的余弦值．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；5Q：立体几何．
【分析】第一步利用线面平行的判定定理易证；第二步化异面为共面；第三步利用线面所成角的定义作图求解．
【解答】解：
（Ⅰ）∵底ABCD为正方形，
连BD，AC交于点O，
则O为BD的中点．
连结EO，
∵E为PB的中点，
∴EO∥PD．
又EO⊂平面AEC，PD⊄平面AEC，
所以PD∥平面AEC．
（Ⅱ）∵EO∥PD，
∴∠AEO为异面直线AE与PD所成角．
∵PA＝PC，
∴PO⊥AC．
又BD⊥AC，PO∩BD＝O，
∴AC⊥平面PBD．
又EO⊂平面PBD，
∴AC⊥EO．
∴△AOE为直角三角形，
又OEPD＝1，AO，
∴tan∠AEO．
即异面直线AE与PD所成角的正切值为．
（Ⅲ）取OB中点F，则EF∥PO，
且EFPO．
又由PA＝PB＝PC＝PD，
可得PO⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD．
故∠EAF为AE与底面ABCD所成的角．
又AF2＝AO2+OF2，AE2＝AF2+EF2，
cos∠EAF，
所以AE与底面ABCD所成角的余弦值为．
【点评】此题考查了线面平行，异面直线所成角，线面所成角等知识，难度不大．
18．（13分）（2017秋•天津期末）在长方体AC1中，已知棱AB＝BC＝1，BB1＝2，连结B1C，过点B作B1C的垂线，垂足为F，交CC1于E．
（Ⅰ）求证：A1B1⊥BE；
（Ⅱ）求证：平面A1B1C⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角C﹣A1B1﹣A的正弦值．

【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）由A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，得A1B1⊥平面B1BCC1，由此能证明A1B1⊥BE．
（Ⅱ）由A1B1⊥BE，BE⊥B1C，得BE⊥平面A1B1C，由此能证明平面A1B1C⊥平面BDE．
（Ⅲ）由A1B1⊥平面B1BCC1，得A1B1⊥B1C，A1B1⊥B1B，从而∠CB1B为二面角C﹣A1B1﹣A的平面角，由此能求出二面角C﹣A1B1﹣A的正弦值．
【解答】（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）∵长方体AC1中，A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，
∴A1B1⊥平面B1BCC1，
又BE⊂平面B1BCC1，
∴A1B1⊥BE．………（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A1B1⊥BE，由已知BE⊥B1C，A1B1⊥B1C＝B1，
∴BE⊥平面A1B1C． ……………………………（6分）
又BE⊂平面BDE，∴平面A1B1C⊥平面BDE．………………………（8分）
解：（Ⅲ）∵A1B1⊥平面B1BCC1，∴A1B1⊥B1C，A1B1⊥B1B，
∴∠CB1B为二面角C﹣A1B1﹣A的平面角．……………………………（11分）
∵AB＝BC＝1，BB1＝2，B1C，∴sin∠CB1B，
∴二面角C﹣A1B1﹣A的正弦值为． ………………………………（13分）

【点评】本题考查线线垂直、面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19．（14分）（2017秋•天津期末）已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（），其上顶点B（0，b）与左右焦点F1，F2构成等腰三角形，且∠F1BF2＝120°．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）以点B（0，b）为焦点的抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的一动点P（m，yp），抛物线C在点P处的切线l与椭圆E交于P1P2两点，线段P1P2的中点为D，直线OD（O为坐标原点）与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，问：当0＜m≤b时，△POM面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在说明理由．
【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）由已知得：a＝2b，1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）抛物线C的焦点B（0，1），则其方程为x2＝4y．y′x．于是抛物线上点P（m，），可得切线l的方程为：y（x﹣m），与椭圆方程联立整理后得（m2+1）x2﹣m3x4＝0．由已知直线l与椭圆交于两点，则△＞0．可得m范围．设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则xD．代入l的方程得yD．故直线OD的方程为：x，可得点M．△POM面积S|PM|•m，利用导数研究其单调性即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得：a＝2b，1，
解得b2＝1，a2＝4．
故椭圆E的方程为：y2＝1．
（Ⅱ）抛物线C的焦点B（0，1），则其方程为x2＝4y．y′x．
于是抛物线上点P（m，），则在点P处的切线l的斜率为k＝y′|x＝m，
故切线l的方程为：y（x﹣m），即yx．
由方程组，消去y，整理后得（m2+1）x2﹣m3x4＝0．
由已知直线l与椭圆交于两点，则△＝m6﹣4（m2+1）（4）＞0．
解得0≤m2＜8+4，其中m＝0是不合题意的．
∴m＜0，或0＜m．
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则xD．
代入l的方程得yD．
故直线OD的方程为：x，即yx．
当x＝m时，y，即点M．
△POM面积S|PM|•mmm．
∵S′m20，
故S关于m单调递增．
∵0＜m≤1，∴当m＝1时，△POM面积最大值为．
【点评】本题考查了椭圆的本质方程及其性质、方程与不等式的解法、三角形面积计算公式、导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．（14分）（2017秋•天津期末）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC中点．
（Ⅰ）求四棱锥A﹣BDMN的体积；
（Ⅱ）求点C到平面AMN的距离；
（Ⅲ）在线段AN上，是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长，若不存在，请说明理由．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5H：空间向量及应用．
【分析】（Ⅰ）连接AC、BD，交于O点，可得AO⊥平面MDBN，即可得四棱锥A﹣MDBN的体积．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
（Ⅲ） 求得平面AMN的法向量，只需即可．
【解答】解：（Ⅰ）连接AC、BD，交于O点，∵ABCD是正方形，∴AO⊥BD，
又NB⊥平面ABCD，AO⊥NB，∴AO⊥平面MDBN，…（10分）
因为矩形MDBN的面积S＝MD×BD，
所以四棱锥A﹣MDBN的体积V，


（Ⅱ）如图以点D为坐标原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
依题意D（0，0，0），A（1，0，0）B（1，1，0），C（0，1，0），M（0，0，1），N（1，1，1），O（）．
设平面AMN的一个法向量为，，，，
于是 即 取，………………………（7分）
则点C到平面AMN的距离d． ……………………………（8分）
（Ⅲ）假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN．
设，又，故． ………（10分）
由（Ⅱ）知平面AMN的一个法向量为，
则，得，．
此时，AS．
故在AN上存在点中点S，使得ES⊥平面ANM，线段AS的长为．
【点评】本题考查体积、点面距离的求法，判定线面垂直的方法，求平面的法向量的坐标是解题的关键，是中档题．

考点卡片
1．四种命题间的逆否关系
【知识点的认识】
基本概念：
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．
四种命题的关系：


【解题方法点拨】
由于本处命题主要是概念型与理解型的题，准确理解概念；注意原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假．原命题与逆否命题同真假，为解题提供逆向思维的方法，反证法的应用．

【命题方向】近几年的高考主要是考察对四命题的理解以及命题之间互为逆否关系的理解，通常以小题为主．又可以与充要条件联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．

【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．

【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
4．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
5．直线的倾斜角
【知识点的认识】
1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）
3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．
4．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：①当a时，k＝tanα；当α时，斜率不存在；
②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0 且tanα随α的增大而增大．
【命题方向】
直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．
（1）直接根据直线斜率求倾斜角
例：直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（　　）
A.30° B.60° C.120° D.150°
分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
解答：因为直线x+y﹣1＝0的斜率为：，
直线的倾斜角为：α．
所以tanα，
α＝120°
故选C．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
（2）通过条件转换求直线倾斜角
例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（　　）
A．30° B.45° C．60° D．120°
分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．
解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，
∴直线AB的斜率k1，
∴直线AB的倾斜角α＝45°．
故选B．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
6．与直线关于点、直线对称的直线方程
【知识点的知识】
点与直线的对称问题：
（l）点关于点对称（中点坐标公式）：
点关于点成中心对称的对称中心恰是以这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a﹣x0，2b﹣y0）
（2）点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．一般情形如下：
设点P（x0，y0），关于直线y＝kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有
可求出x′，y′．

特殊地，点P（x0，y0）关于直线x＝a的对称点为P′（2a﹣x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y＝b的对称点为P′（x0，2b﹣y0）．
（3）线关于点对称（转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行）：
（4）线关于线对称（求交点，转化为点关于线对称）：
由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：
①若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；
②若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；
③a以l为轴旋转180°，一定与b重合．
7．两条平行直线间的距离
【概念】
两平行线的距离就是指平行线上的点到另一条直线的最短距离，因为两直线平行，所以直线上的点到另一条平行线上的点的距离都相等，若设两条平行线的表达式为：ax+by+c＝0和ax+by+d＝0，其中c≠d，那么这两条直线的距离为：d
【例题解析】
例：求曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3＝0的最小距离
解：求导函数可得
令2，可得x＝1，∴y＝0
即曲线y＝ln（2x﹣1）在（1，0）处的切线与直线2x﹣y+3＝0平行，该点到直线2x﹣y+3＝0的距离最小，
最小为．
这个题其实是个数形结合的题，其过程是通过平移该直线，当这条直线与曲线相切时，就找到了曲线到直线的最小距离的点，原理是平行线上的点到另一条平行线上的点的距离相等．然后在套用距离公式求解即可．
【考点分析】
点到直线还是直线到直线的距离，考查的较多的是他们的原理，他们的应用，另外再是距离的计算，在这里需要点出复习时一定要注意他们的应用，特别是平行线的平移．
8．直线与圆相交的性质
【知识点的知识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
【例题解析】
例：写出直线y＝x+m与圆x2+y2＝1相交的一个必要不充分条件：　　
解：直线x﹣y+m＝0若与圆x2+y2＝1相交，
则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，
即d，
∴|m|，
即，
∴满足的必要不充分条件均可．
故答案为：满足的必要不充分条件均可．
这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．
【考点解析】
本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．
9．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系

2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
10．直线和圆的方程的应用
【知识点的知识】
1、直线方程的形式：

2、圆的方程：
（1）圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
（2）圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心（，），半径r．
11．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上
图形


顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e（0＜e＜1）
e（0＜e＜1）
准线
x＝±
y＝±
12．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
13．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

14．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
15．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：

（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
16．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱

③圆柱的特征及性质

圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：


2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．

圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥

③圆锥的特征及性质

与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：


3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．

圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台

③圆台的特征及性质

平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
17．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
18．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

19．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．

1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
20．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
21．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
22．空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），
cos
注意：
（1）当cos1时，与同向；
（2）当cos1时，与反向；
（3）当cos0时，⊥．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则

dA，B＝||．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
【命题方向】
（1）利用公式求空间向量的夹角
例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（　　）
A.30° B.45° C.60° D.90°
分析：由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos，可得答案．
解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），
所以 ，
所以═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且||＝3，||，
所以cos，，
∴的夹角为60°
故选C．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．
（2）利用公式求空间两点的距离
例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B两点间的距离是（　　）
A.3 B. C. D.5
分析：求出AB对应的向量，然后求出AB的距离即可．
解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），
所以（﹣3，0，﹣4），所以5．
故选D．
点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．

23．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
24．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
25．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


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