2018-2019学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科），共16页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小愿，每小题5分，瀹分60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1．（5分）若命题P：∃x0∈R，使得sinx0，则（　　）
A．￢p：∀x∈R，都有sinx
B．￢p：∀x∈R，都有sinx
C．￢p：∃x0∈R，使得sinx0
D．￢p：∀x∈R，都有sinx
2．（5分）设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论一定成立的是（　　）
A．a﹣c＞b﹣d B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．
3．（5分）根据所给数列前五项的规律，判断数列1，，，，3…，3共有（　　）个项
A．27 B．9 C．13 D．14
4．（5分）△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知sinA：sinB＝3：5，c＝2b﹣a，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）（2，m，0），（1，3，n﹣1），若∥，则m+2n＝（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（5分）平面内有定点A、B及动点P，设命题M：“||PA|﹣|PB||为定值”，命题N：“P点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线”，则（　　）
A．M是N的必要不充分条件
B．M是N的充分不必要条件
C．M是N的充要条件
D．M是N的既不充分也不必要条件
7．（5分）空间直角坐标系o﹣xyz中，有四个点，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（3，4，5），则D到平面ABC的距离为（　　）
A．3 B． C． D．4
8．（5分）△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a＝15，b＝24，A＝46°，则此三角形解的个数为（　　）
A．一解 B．二解
C．无解 D．解的个数不确定
9．（5分）如图，四面体S﹣ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD＝3AE，则（　　）

A． B．
C． D．
10．（5分）如图，为测一塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB为45°，再沿AC方向前行20（1）米到达D点，测得∠ADB为30°，则塔高AB为（　　）米

A．40 B．20 C．40 D．20
11．（5分）双曲线M：1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，离心率为，则过P（0，1）点且与双曲线M相切的直线l的方程为（　　）
A．y＝±1 B．y＝±x+1 C．y＝±x+1 D．y＝±x+1
12．（5分）数列{an}是正项等比数列，满足anan+1＝4n，则数列{}的前n项和Tn＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空：本大题共8小题，每小题5分，淌分40分.请将答案填在答题卡相应位置
13．（5分）设原命题：“若a+b≤1，则a，b中至少有一个不大于”，则
①逆命题是“若a，b中至少有一个不大于，则a+b≤1”
②否命题是“若a+b≤1，则a，b中至少有一个大于”
③逆否命题是“若a，b中至少有一个不大于，则a+b＞1”
则叙述正确的命题序号为　 　．
14．（5分）变量x、y满足，则z＝﹣5x+y的最大值为　 　．
15．（5分）过点P（3，0）且斜率为k的直线l被椭圆C：1所截得的线段长为　 　．
16．（5分）数列{an}满足a1＝﹣1，a2＝3，an＝an+1﹣an+2，则a7＝　 　．
17．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB＝3，AD＝AA1＝2，E点在棱D1C1上，且D1ED1C1，则直线AE与DB1所成角的余弦值为　 　．

18．（5分）设抛物线M：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线方程为x＝﹣1，过点P（p，0）的斜率为k的直线l交抛物线M于A、B二点，|AF|+|BF|＝10，则直线l的斜率k＝　 　．
19．（5分）三数成等差数列，和为6，适当排列后，成等比数列，则此三数之积为　 　．
20．（5分）如图，四边形ABCD中，AB，BC＝CD＝DA＝1，S△ABD、S△BCD分别表示△ABD、△BCD的面积，则S2△ABD+S2△BCD的最大值为　 　．

三、解答题：本题共有5个小题，每个小题10分，共50分，请将详细解答过程写在答题卡上，须写出文字说明、证明过程和演算步聊
21．（10分）△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a•cosB＝b•sinA．
（1）求角B的大小；
（2）若b，ac＝2，求a+c的值．
22．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E、F分别是CD、AB的中点，将△AED沿折痕AE折起，使点D旋转到D1的位置，使平面AED1与平面ABCE垂直，利用建好的空间直角坐标系，使用空间向量坐标法，完成下列问题（改换坐标系或不使用空间向量坐标法不给分）
（1）证明：BE⊥平面AED1；
（2）求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．
23．（10分）等差数列{an}满足a1＝3，2a3＝a6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an•3n﹣1”求数列{bn}的前n项和Sn．
24．（10分）实数x、y满足条件．
（1）求的取值范围；
（2）当x取得最小值时，求的最小值．
25．（10分）已知椭圆C：1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1、F2，C过点M（1，），离心率e．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若PQ为椭圆C过F1的弦，R为PF2的中点，O为坐标原点，求△RF1F2、△OF1Q面积之和的最大值．


2018-2019学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小愿，每小题5分，瀹分60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1．（5分）若命题P：∃x0∈R，使得sinx0，则（　　）
A．￢p：∀x∈R，都有sinx
B．￢p：∀x∈R，都有sinx
C．￢p：∃x0∈R，使得sinx0
D．￢p：∀x∈R，都有sinx
【解答】解：∵命题P：∃x0∈R，使得sinx0，”是特称命题
￢p：∀x∈R，都有sinx
故选：D．
2．（5分）设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论一定成立的是（　　）
A．a﹣c＞b﹣d B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．
【解答】解：A、∵a＞b，c＞d，∴﹣c＜﹣d，∴a+c与b+c无法比较大小，故本选项错误；
B、∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b﹣d，故本选项正确；
C、当a＞b，c＞d＞0时，ac＞bd，故本选项错误；
D、当a＞b，c＞d＞0时，，故本选项错误．
故选：B．
3．（5分）根据所给数列前五项的规律，判断数列1，，，，3…，3共有（　　）个项
A．27 B．9 C．13 D．14
【解答】解：数列1，，，，3…，3，可得an，
则3，
即2n﹣1＝27，
解得n＝14，
故选：D．
4．（5分）△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知sinA：sinB＝3：5，c＝2b﹣a，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵sinA：sinB＝3：5，
∴由正弦定理可得：，可得：ab，
∴c＝2b﹣ab，
∴cosB．
故选：A．
5．（5分）（2，m，0），（1，3，n﹣1），若∥，则m+2n＝（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：∵（2，m，0），（1，3，n﹣1），∥，
∴，且n﹣1＝0，
解得m＝6，n＝1，
∴m+2n＝8．
故选：C．
6．（5分）平面内有定点A、B及动点P，设命题M：“||PA|﹣|PB||为定值”，命题N：“P点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线”，则（　　）
A．M是N的必要不充分条件
B．M是N的充分不必要条件
C．M是N的充要条件
D．M是N的既不充分也不必要条件
【解答】解：命题M是：“|PA|﹣|PB|是定值”，
命题N是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的双曲线”，
∵当一个动点到两个顶点距离之差的绝对值等于定值时，再加上这个值小于两个定点之间的距离，
可以得到动点的轨迹是双曲线，没有加上的条件：“差的绝对值”不能推出，
而点P的轨迹是以A．B为焦点的双曲线，一定能够推出|PA|﹣|PB|是定值，
∴M是N成立的必要不充分条件．
故选：A．
7．（5分）空间直角坐标系o﹣xyz中，有四个点，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（3，4，5），则D到平面ABC的距离为（　　）
A．3 B． C． D．4
【解答】解：∵空间直角坐标系o﹣xyz中，有四个点，
A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（3，4，5），
∴（2，4，5），（﹣1，1，0），（﹣1，0，1），
设平面ABC的法向量（x，y，z），
则，取（1，1，1），
∴D到平面ABC的距离为：
d．
故选：C．
8．（5分）△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a＝15，b＝24，A＝46°，则此三角形解的个数为（　　）
A．一解 B．二解
C．无解 D．解的个数不确定
【解答】解：△ABC中，a＝15，b＝24，A＝46°，
由正弦定理得，，
∴sinBsin46°sin45°0.7＞1，
∴B的值不存在，此三角形无解．
故选：C．
9．（5分）如图，四面体S﹣ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD＝3AE，则（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：四面体S﹣ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD＝3AE，
∴


（）（）
．
故选：B．

10．（5分）如图，为测一塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB为45°，再沿AC方向前行20（1）米到达D点，测得∠ADB为30°，则塔高AB为（　　）米

A．40 B．20 C．40 D．20
【解答】解：Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°，得AC＝x，
Rt△ABD中，AD＝x+20（1），∠ADB＝30°，
∴tan30°，
，
解得x＝20，
则塔高AB为20米．
故选：D．
11．（5分）双曲线M：1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，离心率为，则过P（0，1）点且与双曲线M相切的直线l的方程为（　　）
A．y＝±1 B．y＝±x+1 C．y＝±x+1 D．y＝±x+1
【解答】解：可得b＝1，⇒⇒a2＝2，
∴双曲线M：．
由可得（1﹣2k2）x2﹣4kx﹣4＝0．
△＝16k2+16（1﹣2k2）＝0，且1﹣2k2≠0，
k＝±1．
∴直线l的方程为：y＝±x+1，
故选：B．
12．（5分）数列{an}是正项等比数列，满足anan+1＝4n，则数列{}的前n项和Tn＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：数列{an}是正项等比数列，公比设为q（q＞0），
由anan+1＝4n，可得a1a2＝a12q＝4，a2a3＝a12q3＝16，
解得a1，q＝2，
an＝a1qn﹣1•2n﹣1＝2，
则数列
2（），
则前n项和Tn＝2（1）
＝2（1）．
故选：A．
二、填空：本大题共8小题，每小题5分，淌分40分.请将答案填在答题卡相应位置
13．（5分）设原命题：“若a+b≤1，则a，b中至少有一个不大于”，则
①逆命题是“若a，b中至少有一个不大于，则a+b≤1”
②否命题是“若a+b≤1，则a，b中至少有一个大于”
③逆否命题是“若a，b中至少有一个不大于，则a+b＞1”
则叙述正确的命题序号为　①　．
【解答】解：①逆命题是“若a，b中至少有一个不大于，则a+b≤1”，正确
②否命题是“若a+b＞1，则a，b都不大于”，故②错误，
③逆否命题是“若a，b中都不大于，则a+b＞1”，故③错误，
故正确的是①，
故答案为：①
14．（5分）变量x、y满足，则z＝﹣5x+y的最大值为　2　．
【解答】解：变量x、y满足的可行域如图，
由图象可知：
目标函数z＝﹣5x+y过点B（0，2）时
z取得最大值，zmax＝2，
故答案为：2．

15．（5分）过点P（3，0）且斜率为k的直线l被椭圆C：1所截得的线段长为　　．
【解答】解：过点P（3，0）且斜率为k的直线l的方程为y（x﹣3），
代入椭圆C：1可得
x2﹣3x﹣8＝0，设弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2＝3，x1x2＝﹣8，
即有弦长为|AB|•
•．
故答案为：．
16．（5分）数列{an}满足a1＝﹣1，a2＝3，an＝an+1﹣an+2，则a7＝　﹣1　．
【解答】解：根据题意，{an}满足an＝an+1﹣an+2，则an+2＝an+1﹣an，
又由a1＝﹣1，a2＝3，则a3＝a2﹣a1＝3﹣（﹣1）＝4，
a4＝a3﹣a2＝4﹣3＝1，
a5＝a4﹣a3＝1﹣4＝﹣3，
a6＝a5﹣a4＝（﹣3）﹣1＝﹣4，
a7＝a6﹣a5＝（﹣4）﹣（﹣3）＝﹣1，
故答案为：﹣1
17．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB＝3，AD＝AA1＝2，E点在棱D1C1上，且D1ED1C1，则直线AE与DB1所成角的余弦值为　　．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB＝3，
AD＝AA1＝2，E点在棱D1C1上，且D1ED1C1，
∴A（2，0，0），E（0，1，2），D（0，0，0），B1（2，3，2），
（﹣2，1，2），（2，3，2），
设直线AE与DB1所成角为θ，
则cosθ．
∴直线AE与DB1所成角的余弦值为．
故答案为：．

18．（5分）设抛物线M：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线方程为x＝﹣1，过点P（p，0）的斜率为k的直线l交抛物线M于A、B二点，|AF|+|BF|＝10，则直线l的斜率k＝　±1　．
【解答】解：∵抛物线M：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1，∴y2＝4x，
故过点P（p，0）的斜率为k的直线l方程可设为：y＝k（x﹣2）．
由⇒k2x2﹣（4k2+4）x+4＝0．
△＝（4k2+4）﹣16k2＞0，
，
∵，|AF|+|BF|10．
∴x1+x2＝4，∴k＝±1．
故答案为：±1．
19．（5分）三数成等差数列，和为6，适当排列后，成等比数列，则此三数之积为　﹣64或8　．
【解答】解：设三个数分别为a﹣d，a，a+d，则（a﹣d）+a+（a+d）＝3a＝6，即a＝2．
因此三个数分别为2﹣d，2，2+d．
若三数适当排列后，成等比数列，则有（2﹣d）2＝2（2+d）时，解得d＝0或d＝6，三个数分别为2，2，2或﹣4，2，8，乘积为﹣64或8；
当（2+d）2＝2（2﹣d）时，解得d＝0或d＝﹣6，三个数分别为2，2，2或8，2，﹣4，乘积为﹣64或8．
因此，三个数的乘积为﹣64或8．
故答案为：﹣64或8．
20．（5分）如图，四边形ABCD中，AB，BC＝CD＝DA＝1，S△ABD、S△BCD分别表示△ABD、△BCD的面积，则S2△ABD+S2△BCD的最大值为　　．

【解答】解：∵S△ABD•AB•AD•sinAsinA，S△BCD•CD•BC•sinCsinC，
∵BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cosA＝4﹣2cosA，
BD2＝CD2+BC2﹣2CD•BC•cosC＝2﹣2cosC，
∴4﹣2cosA＝2﹣2cosC，
cosCcosA﹣1，
则S2△ABD+S2△BCDsin2Asin2C（1﹣cos2A）（1﹣cos2C）＝1cos2Acos2C＝1cos2A（cosA﹣1）2（cosA）2．
∴当cosA时，则S2△ABD+S2△BCD取最大值．
故答案为：．
三、解答题：本题共有5个小题，每个小题10分，共50分，请将详细解答过程写在答题卡上，须写出文字说明、证明过程和演算步聊
21．（10分）△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a•cosB＝b•sinA．
（1）求角B的大小；
（2）若b，ac＝2，求a+c的值．
【解答】解：（1）∵a•cosB＝b•sinA，
又∵由正弦定理，可得：a•sinB＝b•sinA，
∴a•cosB＝a•sinB，
∴tanB＝1，
∵B∈（0，π），
∴B．
（2）∵B，b，ac＝2，
∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：12﹣2a2+c2ac＝（a+c）2﹣2ac（a+c）2﹣2×2，
∴解得：a+c＝4．
22．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E、F分别是CD、AB的中点，将△AED沿折痕AE折起，使点D旋转到D1的位置，使平面AED1与平面ABCE垂直，利用建好的空间直角坐标系，使用空间向量坐标法，完成下列问题（改换坐标系或不使用空间向量坐标法不给分）
（1）证明：BE⊥平面AED1；
（2）求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：以E为坐标原点，分别以EF，EC所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，
∵AB＝6，AD＝3，E、F分别是CD、AB的中点，平面AED1与平面ABCE垂直，
∴E（0，0，0），B（1，1，0），A（1，﹣1，0），C（0，1，0），．
，，．
∵，，
∴BE⊥EA，BE⊥ED1，又EA∩ED1＝E，
∴BE⊥平面AED1；
（2）解：，，．
设平面EAD1 与平面EBD1 的一个法向量分别为，．
由，取y1＝1，得；
由，取z2＝1，得．
∴cos．
由图可得，二面角A﹣D1E﹣C为钝二面角，
∴二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为．

23．（10分）等差数列{an}满足a1＝3，2a3＝a6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an•3n﹣1”求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）设公差为d的等差数列{an}满足a1＝3，2a3＝a6．
所以：，
解得：d＝3，
故：an＝a1+3（n﹣1）＝3n．
（2）由于：an＝3n，
所以：，
则：①
所以：②，
①﹣②得：﹣2，
整理得：．
24．（10分）实数x、y满足条件．
（1）求的取值范围；
（2）当x取得最小值时，求的最小值．
【解答】解：（1）实数x、y满足条件的可行域如图：
A（，），B（2，3），
的几何意义是可行域内的点与D（3，2）连线的斜率，
可得DA的斜率取得最大值为，DB的斜率最小值为1，
可得：的取值范围[﹣1，]．
（2）z＝x经过A（，），与AC重合时，z取得最小值，可得：的最小值为：1．

25．（10分）已知椭圆C：1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1、F2，C过点M（1，），离心率e．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若PQ为椭圆C过F1的弦，R为PF2的中点，O为坐标原点，求△RF1F2、△OF1Q面积之和的最大值．

【解答】解：（1）由e，设a＝2t，c＝t，t＞0，
可得bt，椭圆方程为1，
代入M，可得1，可得t＝1，
则a＝2，b，c＝1，
可得椭圆方程为1；
（2）由O，R分别为F1F2，PF2的中点，
可得△RF1F2的面积为△PF1F2的面积的一半，即为△PF1O的面积，
△RF1F2、△OF1Q面积之和设为S，则S＝S△PQO，
当直线PQ的斜率不存在时，其方程为x＝﹣1，
此时S△PQO1×[（）]；
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为：y＝k（x+1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
显然直线PQ不与x轴重合，即k≠0；
联立 ，解得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
△＝144（k2+1）＞0，故x1+x2，x1x2，
故|PQ||x1﹣x2|，
点O到直线PQ的距离d，
S|PQ|d＝6，令u＝3+4k2∈（3，+∞），
故S＝6∈（0，），
故S的最大值为．

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日期：2019/12/27 12:17:14；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265