2018-2019学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科），共54页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2018•濮阳一模）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{0，1，2}
2．（5分）（2018•濮阳一模）若复数z满足1＝2i，其中i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，则z＝（　　）
A．﹣3﹣i B．3﹣i C．3+i D．﹣3+i
3．（5分）（2018•濮阳一模）如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子（豆子大小忽略不计），然后统计知豆子的总数为m粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为（　　）

A． B． C． D．
4．（5分）（2018秋•辽源期末）按照程序框图（如图）执行，第4个输出的数是（　　）


A．5 B．6 C．7 D．8
5．（5分）（2018•濮阳一模）设α∈（0°，90°），若sin（75°+2α），则sin（15°+α）•sin（75°﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）（2019•山东模拟）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）（2018•濮阳一模）已知三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A﹣BD﹣C为直二面角，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（　　）
A． B．5π C．6π D．
8．（5分）（2018•濮阳一模）执行如图所示的程序框图（其中b＝cmod10表示b等于c除以10的余数），则输出的b为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
9．（5分）（2018•濮阳一模）某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
10．（5分）（2018•濮阳一模）已知双曲线x2﹣y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上两个动点，则|F1P1|+|F1P2|﹣|P1P2|的最小值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
11．（5分）（2018秋•辽阳期末）已知x＞0，y＞0，且2．若4x+y＞7m﹣m2恒成立，则m的取值范围为（　　）
A．（3，4） B．（﹣4，3）
C．（﹣∞，3）∪（4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（﹣3，+∞）
12．（5分）（2018•濮阳一模）已知a＞0且a≠1，若当x≥1时，不等式ax≥ax恒成立，则a的最小值是（　　）
A．e B． C．2 D．ln2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）（2018•濮阳一模）正三角形ABC的边长为1，G是其重心，则　 　．
14．（5分）（2018秋•白山期末）命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．”的逆命题是　 　．
15．（5分）（2018•濮阳一模）已知椭圆，F1和F2是椭圆的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若△ABF2的内切圆半径为1，|F1F2|＝2，|y1﹣y2|＝3，则椭圆离心率为　 　．
16．（5分）（2018秋•辽阳期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）（2018•濮阳一模）已知数列{an}是等差数列，a1＝t2﹣t，a2＝4，a3＝t2+t．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}为递增数列，数列{bn}满足log2bn＝an，求数列{（an﹣1）bn}的前n项和Sn．
18．（12分）（2018•濮阳一模）为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示．
（1）求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；
（2）从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

19．（12分）（2018秋•辽源期末）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2）且在x处取得极值点．
（1）求a、b的值
（2）求 函数f（x）的单调区间．
（3）求 函数 f（x）在[﹣1，1]上的最值．
20．（2018•濮阳一模）已知点M（2，1）在抛物线C：y＝ax2上，A，B是抛物线上异于M的两点，以AB为直径的圆过点M．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）过点M作直线AB的垂线，求垂足N的轨迹方程．
21．（12分）（2018•绵阳模拟）如图，在五面体ABCDPN中，棱PA⊥底面ABCD，AB＝AP＝2PN．底面ABCD是菱形，．
（Ⅰ）求证：PN∥AB；
（Ⅱ）求二面角B﹣DN﹣C的余弦值．

22．（12分）（2018秋•武邑县校级期末）已知椭圆C：1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点B（0，﹣4）的直线l交椭圆于不同的两点M、N，且满足•（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
23．（12分）（2008•福建）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点A到平面PCD的距离．


2018-2019学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2018•濮阳一模）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】求出集合A的等价条件，利用集合交集的定义进行求解即可．
【解答】解：A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，
则A∩B＝{0，1}，
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）（2018•濮阳一模）若复数z满足1＝2i，其中i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，则z＝（　　）
A．﹣3﹣i B．3﹣i C．3+i D．﹣3+i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】解：由1＝2i，得，
∴则z＝﹣3﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）（2018•濮阳一模）如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子（豆子大小忽略不计），然后统计知豆子的总数为m粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为（　　）

A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
【分析】根据几何概型的定义判断即可．
【解答】解：由题意，长方形的面积是2，
飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约是，
故图中飞鸟图案的面积约是，
故选：B．
【点评】本题考查了几何概型的应用，是一道基础题．
4．（5分）（2018秋•辽源期末）按照程序框图（如图）执行，第4个输出的数是（　　）


A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】E7：循环结构．菁优网版权所有
【专题】21：阅读型．
【分析】根据流程图可知第一次输出的A＝1，则S＝1+1＝2，满足条件S≤5，然后A＝1+2＝3，依此类推，当不满足条件S≤5，然后退出循环，求出所求即可．
【解答】解：第一次输出的A＝1，则S＝1+1＝2，满足条件S≤5，然后A＝1+2＝3
第二次输出的A＝3，则S＝2+1＝3，满足条件S≤5，然后A＝3+2＝5
第三次输出的A＝5，则S＝3+1＝4，满足条件S≤5，然后A＝5+2＝7
第四次输出的A＝7，则S＝4+1＝5，满足条件S≤5，然后A＝7+2＝9
第五次输出的A＝9，则S＝5+1＝6，不满足条件S≤5，然后退出循环
故第4个输出的数是7
故选：C．
【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．属于基础题．
5．（5分）（2018•濮阳一模）设α∈（0°，90°），若sin（75°+2α），则sin（15°+α）•sin（75°﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得sin（15°﹣2α）、再把要求的式子化为sin[45°﹣（15°﹣2α）]，根据两角和差的正弦公式，计算求得结果．
【解答】解：∵α∈（0°，90°），sin（75°+2α）＝cos（15°﹣2α），
∴15°﹣2α∈（﹣175°，﹣90°），∴sin（15°﹣2α），
则sin（15°+α）•sin（75°﹣α）＝sin（15°+α）cos（15°+α）
sin（30°+2α）sin[45°﹣（15°﹣2α）]
[sin45°cos（15°﹣2α）﹣cos45°sin（15°﹣2α）][•（）•（）]，
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
6．（5分）（2019•山东模拟）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】M5：共线向量与共面向量．菁优网版权所有
【专题】4R：转化法；5A：平面向量及应用；5H：空间向量及应用．
【分析】利用即可得出．
【解答】解：．
故选：B．
【点评】本题考查了向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）（2018•濮阳一模）已知三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A﹣BD﹣C为直二面角，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（　　）
A． B．5π C．6π D．
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5U：球．
【分析】首先确定球心的位置，进一步确定球的半径，最后确定球的表面积．
【解答】解：如图所示：

△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A﹣BD﹣C为直二面角，
则：E、F分别是△ABC和△BCD的中心，
球心O为△ABC和△BCD的过中心的垂线的交点，
则：OE＝OF，ED，
利用勾股定理得：，
则：S＝4．
故选：D．

【点评】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，重点考察球的球心位置的判定．
8．（5分）（2018•濮阳一模）执行如图所示的程序框图（其中b＝cmod10表示b等于c除以10的余数），则输出的b为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
a＝2，b＝8，n＝1
c＝16，a＝8，b＝6，n＝2
不满足条件n≥2017，执行循环体，c＝48，a＝6，b＝8，n＝3
不满足条件n≥2017，执行循环体，c＝48，a＝8，b＝8，n＝4
不满足条件n≥2017，执行循环体，c＝64，a＝6，b＝4，n＝5
不满足条件n≥2017，执行循环体，c＝32，a＝4，b＝2，n＝6
不满足条件n≥2017，执行循环体，c＝8，a＝2，b＝8，n＝7
…
由于2017＝6×336+1，
观察规律可得：当n＝2017时，b＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9．（5分）（2018•濮阳一模）某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．
【分析】根据三视图知该几何体是由长方体截去一个四棱锥所得的组合体，画出几何体的直观图，结合图中数据求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图知，该几何体是由长方体截去一个四棱锥所得的组合体，
画出几何体的直观图，如图所示；
结合图中数据，计算几何体的体积为
V＝1×1×21×1×2．
故选：A．

【点评】本题考查了三视图与空间想象能力的应用问题，是基础题．
10．（5分）（2018•濮阳一模）已知双曲线x2﹣y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上两个动点，则|F1P1|+|F1P2|﹣|P1P2|的最小值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设双曲线的右焦点为F2，|F1P1|＝2a+|F2P1|，|F1P2|＝2a+|F2P2|，则|F1P1|+|F1P2|﹣|P1P2|＝2a+|F2P1|+2a+|F2P2|﹣|P1P2|＝8+（|F2P1|+|F2P2|﹣|P1P2|）≥8．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a+|F2P1|，|F1P2|＝2a+|F2P2|，
则|F1P1|+|F1P2|﹣|P1P2|＝2a+|F2P1|+2a+|F2P2|﹣|P1P2|＝8+（|F2P1|+|F2P2|﹣|P1P2|）≥8
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的定义、性质，考查了转化思想，属于中档题．
11．（5分）（2018秋•辽阳期末）已知x＞0，y＞0，且2．若4x+y＞7m﹣m2恒成立，则m的取值范围为（　　）
A．（3，4） B．（﹣4，3）
C．（﹣∞，3）∪（4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（﹣3，+∞）
【考点】6P：不等式恒成立的问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】利用基本不等式的性质求解x+2y的最小值，即可求解恒成立时实数m的取值范围．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2，
那么：4x+y（4x+y）（）（6+6）（12+2）＝12．
当且仅当y＝4x时，即x，y＝6时取等号；
要使4x+y＞7m﹣m2恒成立，即12＞7m﹣m2恒成立，
解得：4＜m或m＜3；
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用来解恒等式成立的问题．属于基本知识的考查．
12．（5分）（2018•濮阳一模）已知a＞0且a≠1，若当x≥1时，不等式ax≥ax恒成立，则a的最小值是（　　）
A．e B． C．2 D．ln2
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】推导出ax﹣1≥x，从而（x﹣1）lna≥lnx，令p（x）＝lnx﹣（x﹣1）lna，则x≥1时，p（x）≤0，p′（x），由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出a的最小值．
【解答】解：∵a＞0且a≠1，当x≥1时，不等式ax≥ax恒成立，
∴ax﹣1≥x，
两边取自然对数，得：
（x﹣1）lna≥lnx，
令p（x）＝lnx﹣（x﹣1）lna，则x≥1时，p（x）≤0，
∵p′（x），
当lna＜0，即a∈（0，1）时，p′（x）＞0，p（x）递增，
当x≥1时，p（x）≥p（1）＝0，与p（x）≤0矛盾；
当lna＞0，即a∈（1，+∞）时，令p′（x）＝0，得x，
x∈（0，），p′（x）＞0，p（x）递增；
x∈（，+∞），p′（x）＜0，p（x）递减．
若1，即a∈（1，e），当x∈[1，）时，p（x）递增，p（x）≥p（1）＝0，矛盾；
若1，即a∈[e，+∞），当x∈[1，+∞）时，p（x）≤p（1）＝0，成立．
综上，a的取值范围是[e，+∞）．
故a的最小值是e．
故选：A．
【点评】本题考查实数值的最小值的求法，考查导数与函数的单调性、极值、最值，着重考查学生的逻辑推理能力以及运算求解能力．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）（2018•濮阳一模）正三角形ABC的边长为1，G是其重心，则　　．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．
【分析】由已知可得，，向量的夹角为30°，然后直接代入数量积公式求解．
【解答】解：∵正三角形ABC的边长为1，
∴，又G是其重心，
∴，且向量的夹角为30°，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，是中档题．
14．（5分）（2018秋•白山期末）命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．”的逆命题是　当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b　．
【考点】25：四种命题间的逆否关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】根据原命题是若P，则Q，它的逆命题是若Q，则P，
【解答】解：命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．”的逆命题是当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b，
故答案为：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b
【点评】本题考查了四种命题之间的关系，解题时应根据原命题直接写出对应的逆命题
15．（5分）（2018•濮阳一模）已知椭圆，F1和F2是椭圆的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若△ABF2的内切圆半径为1，|F1F2|＝2，|y1﹣y2|＝3，则椭圆离心率为　　．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据椭圆的性质以及三角形的面积公式即可求出．
【解答】解：△ABF2的周长为l，则△ABF2的面积Slr4a×1＝2a，
又S|F1F2|•|y1﹣y2|2×3＝3，
则2a＝3，解得a，
又c＝1，则e，
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系综合，考查了应用意识，属于基础题
16．（5分）（2018秋•辽阳期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为　　．

【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】取AC的中点O，连结OP，OB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与PD所成角的余弦值．
【解答】解：取AC的中点O，连结OP，OB，
∵PA＝PC，∴AC⊥OP，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴OP⊥平面ABC，
又∵AB＝BC，∴AC⊥OB，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵△PAC是等腰直角三角形，PA＝PC＝4，△ABC为直角三角形，
∴A（2，0，0），C（﹣2，0，0），P（0，0，2），D（，0），
∴（﹣4，0，0），（，﹣2），
∴cos．
∴异面直线AC与PD所成角的余弦值为．
故答案为：．

【点评】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）（2018•濮阳一模）已知数列{an}是等差数列，a1＝t2﹣t，a2＝4，a3＝t2+t．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}为递增数列，数列{bn}满足log2bn＝an，求数列{（an﹣1）bn}的前n项和Sn．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式．
（2）根据（1）的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求和．
【解答】解：（1）数列{an}是等差数列，a1＝t2﹣t，a2＝4，a3＝t2+t．
则：2a2＝a1+a3，
所以：t2+t+t2﹣t＝8，
解得：t＝±2．
①当t＝2时，a1＝2，公差d＝2，
所以：an＝2n．
②当t＝﹣2时，a1＝6，公差d＝﹣2，
所以：an＝8﹣2n．
（2）由于：数列{an}为递增数列，
则：an＝2n．
数列{bn}满足log2bn＝an，
则：．
则：（an﹣1）bn＝（2n﹣1）•4n
所以：Sn＝1•41+3•42+…+（2n﹣1）•4n①，
4Sn＝1•42+3•43+…+（2n﹣1）•4n+1②．
①﹣②得：﹣3Sn＝4+2•42+2•43+…+2•4n﹣（2n﹣1）•4n+1，
（2n﹣1）•4n+1．
所以：Sn．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．
18．（12分）（2018•濮阳一模）为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示．
（1）求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；
（2）从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由统计图得200名司机中送考一次的有20人，送考两次的有100人，送考三次的有80人，由此能求出该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数．
（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一人参加2次送考”为事件A，这两人中“一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件B，这两人中“一人参加1次，别一人参加3次送考”为事件C，“这两人参加次数相同”为事件D，则P（X＝1）＝P（A）+P（B），P（X＝2）＝P（C），P（X＝0）＝P（D），由此能求出X的分布列及数学期望．
【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考一次的有20人，
送考两次的有100人，送考三次的有80人，
∴该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数为：
23次．
（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一人参加2次送考”为事件A，
这两人中“一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件B，
这两人中“一人参加1次，别一人参加3次送考”为事件C，
“这两人参加次数相同”为事件D，
则P（X＝1）＝P（A）+P（B），
P（X＝2）＝P（C），
P（X＝0）＝P（D），
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P



E（X）．
【点评】本题考查平均数和离散型随机变量的分布列与期望，考查数据处理能力及应用意识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19．（12分）（2018秋•辽源期末）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2）且在x处取得极值点．
（1）求a、b的值
（2）求 函数f（x）的单调区间．
（3）求 函数 f（x）在[﹣1，1]上的最值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．
【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出并检验即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）根据函数的单调性，求出函数的在闭区间上的最值即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2）
∴f（1）＝2，∴a+b＝1，
又函数f（x）在x处取得极值点，
∴f'（）＝0 因 f'（x）＝3x2+2 ax+b∴2a+3b＝﹣1 …（4分）
解得 a＝4，b＝﹣3，
经检验 x是f（x）极值点 …（6分）
（2）由（1）得f'（x）＝3x2+8x﹣3，
令f'（x）＞0，得 x＜﹣3或 x，
令f'（x）＜0，得﹣3＜x，
函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣3），（，+∞），
函数f（x）的单调减区间为（﹣3，） …（8分）
（3）由（2）知，又函数f（x）在x处取得极小值点f（）f（﹣1）＝6，f（1）＝2 …（10分）
函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为6，最小值为（12分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
20．（2018•濮阳一模）已知点M（2，1）在抛物线C：y＝ax2上，A，B是抛物线上异于M的两点，以AB为直径的圆过点M．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）过点M作直线AB的垂线，求垂足N的轨迹方程．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）先求出抛物线方程，再设直线AB的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理和向量的数量积可得即m＝2k+5，或m＝﹣2k+1，即可求出定点坐标，
（2）由（Ⅰ）设直线AB恒过定点R（﹣2，5），则点N的轨迹是以MR为直径的圆且去掉（±2，1），问题得以解决
【解答】证明：（Ⅰ）点M（2，1）在抛物线C：y＝ax2上，
∴1＝4a，解得a，
∴抛物线的方程为x2＝4y，
由题意知，故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得，消y可得x2﹣4kx﹣4m＝0，得x1+x2＝4k，x1x2＝4m，
由于MA⊥MB，
∴•0，
即（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝0，
即x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+5＝0，（*）
∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m，y1y2＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
代入（*）式得4k2+8k＝m2﹣6m+5，即（2k+2）2＝（m﹣3）2，
∴2k+2＝m﹣3，或2k+2＝3﹣m，即m＝2k+5，或m＝﹣2k+1，
当m＝2k+5时，直线AB方程为y＝k（x+2）+5，恒过定点（2，5），
经验证，此时△＞0，符合题意，
当m＝﹣2k+1时，直线AB方程为y＝k（x+2）+5，恒过定点（2，1），不合题意，
∴直线AB恒过点（﹣2，5），
（Ⅱ）由（Ⅰ）设直线AB恒过定点R（﹣2，5），则点N的轨迹是以MR为直径的圆且去掉（±2，1），
方程为x2+（y﹣3）2＝8，y≠1．
【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及圆的有关性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
21．（12分）（2018•绵阳模拟）如图，在五面体ABCDPN中，棱PA⊥底面ABCD，AB＝AP＝2PN．底面ABCD是菱形，．
（Ⅰ）求证：PN∥AB；
（Ⅱ）求二面角B﹣DN﹣C的余弦值．

【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）推导出AB∥面CDPN．由此能证明AB∥PN．
（Ⅱ）取CD的中点M，则AM⊥AB，以A点为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣DN﹣C的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）在菱形ABCD中，AB∥CD，
∵CD⊂面CDPN，AB⊄面CDPN，∴AB∥面CDPN．
又AB⊂面ABPN，面ABPN∩面CDPN＝PN，
∴AB∥PN．
解：（Ⅱ）取CD的中点M，则由题意知AM⊥AB，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AM．
如图，以A点为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，
设AB＝2，则B（2，0，0），C（1，，0），D（﹣1，，0），N（1，0，2），
∴（﹣3，，0），（2，，2），（﹣2，0，0）．
设平面BDN的一个法向量为（x，y，z），
则，令x＝1，则（1，，），
设平面DNC的一个法向量为（x，y，z），
则，取z，得（0，2，），
∴cos．
∴二面角B﹣DN﹣C的余弦值为．

【点评】本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
22．（12分）（2018秋•武邑县校级期末）已知椭圆C：1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点B（0，﹣4）的直线l交椭圆于不同的两点M、N，且满足•（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线l的方程为y＝kx﹣4，联立，得（4k2+3）x2+32kx+16＝0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．
【解答】解：（1）∵椭圆C：1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e，
∴，解得a＝4，c＝2，b2，
∴椭圆C的标准方程是．
（2）设直线l的方程存在，若l的斜率不存在，则M（0，2），N（0，﹣2），
此时，不成立．
若l的斜率k存在，则l的方程为y＝kx﹣4，
联立，得（4k2+3）x2+32kx+16＝0，
△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，
y1y2＝（kx1+4）（kx2+4）＝k2x1x2+4k（x1+x2）+16，
∵•，
∴x1x2+y1y2＝（k2+1）x1x2+4k（x1+x2）+16
16，
解得k2＝1．
∴直线l的方程为y＝±x+4．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．
23．（12分）（2008•福建）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点A到平面PCD的距离．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（3）利用等体积法建立等量关系，可求得点A到平面PCD的距离．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝2AB＝2BC，
有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC．
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．
因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB，
在Rt△POA中，因为AP，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，PB，
cos∠PBO，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得CD＝OB，
在Rt△POC中，PC，
所以PC＝CD＝DP，S△PCD•2．
又S△，
设点A到平面PCD的距离h，
由VP﹣ACD＝VA﹣PCD，
得S△ACD•OPS△PCD•h，
即1×1h，
解得h．

【点评】本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．

考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．四种命题间的逆否关系
【知识点的认识】
基本概念：
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．
四种命题的关系：


【解题方法点拨】
由于本处命题主要是概念型与理解型的题，准确理解概念；注意原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假．原命题与逆否命题同真假，为解题提供逆向思维的方法，反证法的应用．

【命题方向】近几年的高考主要是考察对四命题的理解以及命题之间互为逆否关系的理解，通常以小题为主．又可以与充要条件联合命题．
3．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
4．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
5．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．不等式恒成立的问题
v．
7．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
8．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
9．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2）⇔0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||

2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•λ（）•（）；
（3）分配律：（）••（）

【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2•2．②（）（）22．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是　①②　．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
10．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

11．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
12．离散型随机变量及其分布列
【考点归纳】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．

2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
13．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．

2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
14．循环结构
【知识点的认识】
1．循环结构：需要重复执行同一操作的结构称为循环结构，即从某处开始，按照一定的条件反复执行某一处理步骤，反复执行的处理步骤称为循环体．
2．两种循环结构：

【命题方向】
掌握循环结构的功能特点，注意与其他算法结构的区分．理解“当型”和“直到型”两种循环结构的含义、作用，尤其注意区分两者区别．题目多以应用计算为主，考查纯概念性问题较少，解题时要留意题目所给条件，细心作答．
例：若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（　　）

A．k＜6？B．k＜7？C．k＜8？D．k＜9？
分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S＝3，可得判断框内应填入的条件．
解答：根据程序框图，运行结果如下：
S k
第一次循环 log23 3
第二次循环 log23•log34 4
第三次循环 log23•log34•log45 5
第四次循环 log23•log34•log45•log56 6
第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7
第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78＝log28＝3 8
故如果输出S＝3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．
故选：C．
点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．
15．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能


起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的．

输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．

处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．

判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．

流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序

连结点
连接另一页或另一部分的框图

注释框
帮助编者或阅读者理解框图

（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
16．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
【例题解析】
例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于　　
解：，，，，
∴原式．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【考点点评】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
17．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
18．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

19．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
20．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则

当，
解得
此时对∀k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
21．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：

（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
22．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
23．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

24．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．

1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
25．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
26．共线向量与共面向量
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而．
（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．
（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
【命题方向】
1，考查空间向量共线问题
例：若（2x，1，3），（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（　　）
A．x＝1，y＝1 B．x，y C．x，y D．x，y
分析：利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．
解答：∵（2x，1，3）与（1，﹣2y，9）共线，
故有．
∴x，y．
故选C．
点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．
2．考查空间向量共面问题
例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（　　）
A． B． C． D．
分析：根据共面向量定理，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．
解答：由共面向量定理，
说明M、A、B、C共面，
可以判断A、B、C都是错误的，
则D正确．
故选D．
点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．
27．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
28．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


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日期：2019/4/17 22:20:17；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265