专题13 利用导数证明数列不等式（原卷版）学案

专题13  利用导数证明数列不等式

【热点聚焦与扩展】

利用导数证明数列不等式，在高考题中能较好的考查学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起，也是近年来高考的热门题型.

1、常见类型：

（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题

（2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题

2、恒成立不等式的来源：

（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式.

（2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向.其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式.

3、常见恒成立不等式：

（1）   对数→多项式    （2）    指数→多项式

4、关于前项和的放缩问题：求数列前项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种：

（1）倒序相加：通项公式具备第项与第项的和为常数的特点.

（2）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式（例如，求和可用错位相减）.

（3）等比数列求和公式

（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消.

注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑.

5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式.

6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向.

7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）.

8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系）.

【经典例题】

1．（2020·江苏省如皋中学高三三模）已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，恒成立，求k的取值范围；

（3）设n，求证：．

2．（2020·四川省内江市第六中学高三三模）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若不等式在时恒成立，求实数a的取值范围；

（3）当时，证明：.

3．（2020·安徽合肥·三模）已知函数（e为自然对数的底数），其中a∈R.

（1）试讨论函数f（x）的单调性；

（2）证明：.

4．（2020·安徽相山·淮北一中高三三模）已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）比较 与的大小且，并证明你的结论.

5．（2020·云南高三三模）已知函数

（１）讨论的单调性；

（2）证明：．

【精选精练】

1．（2020·榆林市第二中学高三三模）已知为自然对数的底数).

(1)求证恒成立；

(2)设是正整数，对任意正整数，，求的最小值.

2．（2020·广东广州高三三模·）已知函数．

（1）求函数在上的单调区间；

（2）用表示中的最大值，为的导函数，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：．

3．（2020·安徽蚌埠·高三三模）已知函数.

（1）分析函数的单调性；

（2）证明：，.

4．（2020·全国高三三模）已知函数.

(1)    若时,函数取得极值,求函数的单调区间；

(2)    证明：.

5．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中高三三模）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：．

6．（2020·浙江省宁波市鄞州中学高三三模）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的恒成立，求的取值范围；

（3）证明：.

7．（2020·广东广州·高三三模）已知函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明:；

（3）试比较与 ，并证明你的结论．

8．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中三模）已知函数．

（Ⅰ）当时，函数存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求证：．

9．（2020·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）证明：.

10．（2020·浙江三模）已知数列，，.

（1）求证：；

（2）求证：.