初中湘教版3.5 相似三角形的应用课后练习题

这是一份初中湘教版3.5 相似三角形的应用课后练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

3.5　相似三角形的应用
一、选择题
1.如图是测量河宽的示意图，AD与BC交于点E，经测量得BE＝60 m，CE＝30 m，CD＝35 m，∠ABE＝∠DCE＝90°，则河的宽度AB为(　　)
A．30 m B．35 m C．60 m D．70 m

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度2的地方(即同时使OA＝2OD，OB＝2OC)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段的两个端点上，若CD＝3，则AB的长是(　　)
A．12 B．9 C．8 D．6
3.【2020·天水】如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5 m，测得AB＝1.2 m，BC＝12.8 m，则建筑物CD的高是(　　)
A．17.5 m B．17 m C．16.5 m D．18 m
4.【中考·长春】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的标杆，它的影子长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为(　　)
A．五丈　　 B．四丈五尺 C．一丈　　 D．五尺
5.【中考·兰州】如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5 m，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15 m．然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3 m，小明身高EF＝1.6 m，则凉亭的高度AB约为(　A　)
A．8.5 m B．9 m C．9.5 m D．10 m

第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.如图所示,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过,请你根据图中的数据回答,两层楼之间的高约为(　　)
A.5.5 m B.6.2 m C.11 m D.2.2 m
7.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50 cm，EF＝30 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝20 m，则树高AB为 (　　)
A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m
8.如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3 m，当BC＝2.6 m时，点B离地面的距离BE＝1 m，则此时点A离地面的距离是(　　)
A．2.2 m B．2 m C．1.8 m D．1.6 m
9.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　　)
A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m

第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10.如图，路灯距地面8m，身高1.6m的小明从距离灯的底部(点O)20m的点A处，沿OA所在的直线行走14m到点B时，人影的长度是(　　)
A．增大1.5 m B．减小1.5 m C．增大3.5 m D．减小3.5 m
11.如图是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)用去一部分液体后如图所示，此时液面直径AB=(　　)
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
12.【中考·毕节】如图，在一块斜边长30 cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(　　)
A．100 cm2 B．150 cm2 C．170 cm2 D．200 cm2
二、填空题
13.【2021·长春期末】如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10 cm，＝＝，则容器的内径是__________．

第13题图 第15题图 第16题图 第17题图
14.【中考·吉林】在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为____________m.
15.综合实践课上，数学课外小组计划测量学校假山的高度，如图，他们将平面镜放在与假山AC的距离为21 m的B处，然后沿着射线CB后退到点E处，这时恰好在平面镜里看到山头A，利用皮尺测得BE＝2.1 m．若测量者眼睛的高度DE＝1.7 m，则假山AC的高度为________m.
16.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知AC∶BC＝5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压________cm.
17.如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距离为20 cm，到屏幕的距离为40 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为________cm.
18.“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，则FH＝________里．

三、解答题
19.【中考·陕西】周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.




20.如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上),测得AC=2 m,BD=2.1 m.如果小明眼睛距地面高度BF,DG为1.6 m,试确定楼的高度OE.

21.【2020·郑州枫杨外国语期中】在公园里有两个垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两个圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120 cm.敏敏观察到高度90 cm的矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60 cm；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
(1)若敏敏的身高为150 cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少厘米？
(2)若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150 cm，则高圆柱的高度为多少厘米？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．









22.【2020·内江】为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求B处到灯塔P的距离；
(2)已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？











23.阅读下面材料，完成学习任务．
数学活动：测量树的高度．
在物理学中我们学过光的反射定律，数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB，测量和计算的部分步骤如下：
①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；

②将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝……
任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．























24.【中考·绍兴】有一道作业题：
如图①，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？

小颖解得此题的答案为48 mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题：
(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成的，如图②，此时，这个矩形零件的两条相邻边长又分别为多少毫米？
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样，此矩形零件的两条相邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条相邻边长．

参考答案
一、选择题
1.如图是测量河宽的示意图，AD与BC交于点E，经测量得BE＝60 m，CE＝30 m，CD＝35 m，∠ABE＝∠DCE＝90°，则河的宽度AB为(　D　)
A．30 m B．35 m C．60 m D．70 m
【点拨】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.
又∵∠AEB＝∠DEC(对顶角相等)，∴△ABE∽△DCE，
∴AB∶DC＝BE∶CE，即AB∶35＝60∶30，解得AB＝70 m.

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度2的地方(即同时使OA＝2OD，OB＝2OC)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段的两个端点上，若CD＝3，则AB的长是(　　)
A．12 B．9 C．8 D．6
【点拨】∵OA＝2OD，OB＝2OC，
∴OA∶OD＝OB∶OC＝2∶1.
又∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴OA∶OD＝AB∶CD＝2∶1，
∴AB＝2CD＝2×3＝6.
【答案】D
3.【2020·天水】如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5 m，测得AB＝1.2 m，BC＝12.8 m，则建筑物CD的高是(　A　)
A．17.5 m B．17 m C．16.5 m D．18 m
4.【中考·长春】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的标杆，它的影子长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为(　B　)
A．五丈　　 B．四丈五尺 C．一丈　　 D．五尺
5.【中考·兰州】如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5 m，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15 m．然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3 m，小明身高EF＝1.6 m，则凉亭的高度AB约为(　A　)
A．8.5 m B．9 m C．9.5 m D．10 m
【点拨】由题意知∠AGC＝∠FGE.
又∵∠ACG＝∠FEG＝90°，∴△ACG∽△FEG.　
∴＝.∴＝.∴AC＝8 m.
∴AB＝AC＋BC＝8＋0.5＝8.5(m)．

第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.如图所示,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过,请你根据图中的数据回答,两层楼之间的高约为(　A　)
A.5.5 m B.6.2 m C.11 m D.2.2 m
7.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50 cm，EF＝30 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝20 m，则树高AB为 (　D　)
A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m
8.如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3 m，当BC＝2.6 m时，点B离地面的距离BE＝1 m，则此时点A离地面的距离是(　A　)
A．2.2 m B．2 m C．1.8 m D．1.6 m
9.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　C　)
A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m

第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10.如图，路灯距地面8m，身高1.6m的小明从距离灯的底部(点O)20m的点A处，沿OA所在的直线行走14m到点B时，人影的长度是(　D　)
A．增大1.5 m B．减小1.5 m C．增大3.5 m D．减小3.5 m
11.如图是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)用去一部分液体后如图所示，此时液面直径AB=(　C　)
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
12.【中考·毕节】如图，在一块斜边长30 cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(　　)
A．100 cm2 B．150 cm2 C．170 cm2 D．200 cm2
【点拨】设AF＝x cm，则AC＝3x cm.
∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x cm，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x cm.
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，即302＝(3x)2＋(6x)2，
解得x＝2(负值已舍去)，
∴CF＝4 cm，AC＝6 cm，BC＝12 cm，
∴剩余部分的面积＝×12×6－4×4＝100(cm2)．
【答案】A
二、填空题
13.【2021·长春期末】如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10 cm，＝＝，则容器的内径是__________．
【答案】15 cm

第13题图 第15题图 第16题图 第17题图
14.【中考·吉林】在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为____________m.
【答案】54
15.综合实践课上，数学课外小组计划测量学校假山的高度，如图，他们将平面镜放在与假山AC的距离为21 m的B处，然后沿着射线CB后退到点E处，这时恰好在平面镜里看到山头A，利用皮尺测得BE＝2.1 m．若测量者眼睛的高度DE＝1.7 m，则假山AC的高度为________m.
【答案】17
16.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知AC∶BC＝5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压________cm.
【答案】50
17.如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距离为20 cm，到屏幕的距离为40 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为________cm.
【答案】18
18.“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，则FH＝________里．

【点拨】由题意得△GEA∽△AFH，
∴＝，即FH＝.
∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，
∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，
∴FH＝＝1.05(里)．
【答案】1.05
三、解答题
19.【中考·陕西】周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.

解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴BC∶DE＝AB∶AD，
∴＝，∴＝，
∴AB＝17 m.
答：河宽AB为17 m.
20.如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上),测得AC=2 m,BD=2.1 m.如果小明眼睛距地面高度BF,DG为1.6 m,试确定楼的高度OE.

解:令OE=a,AO=b,CB=x,
则由△GDC∽△EOC得GDEO=CDOC,即1.6a=2.1-x2+b,
整理得3.2+1.6b=2.1a-ax,　①
由△FBA∽△EOA得FBEO=ABOA,即1.6a=2-xb,
整理得1.6b=2a-ax,　②
将②代入①,得3.2+2a-ax=2.1a-ax,
∴a=32,即OE=32.
答:楼的高度OE为32米.
21.【2020·郑州枫杨外国语期中】在公园里有两个垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两个圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120 cm.敏敏观察到高度90 cm的矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60 cm；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：

(1)若敏敏的身高为150 cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少厘米？
解：设敏敏的影长为x cm.
由题意得＝，解得x＝100.
经检验，x＝100是分式方程的解．
∴敏敏的影长为100 cm.
(2)若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150 cm，则高圆柱的高度为多少厘米？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
解：如图，连结AE，作FB∥EA，交AC于B.

∵AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形．
∴AB＝EF＝150 cm.
设BC＝y cm，由题意知BC落在地面上的影长为120 cm，
∴＝，解得y＝180.∴AC＝AB＋BC＝150＋180＝330(cm)．
答：高圆柱的高度为330 cm.
22.【2020·内江】为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求B处到灯塔P的距离；

解：∵∠PAB＝90°－60°＝30°，∠ABP＝90°＋30°＝120°，
∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°.
∴PB＝AB＝60海里．
(2)已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？
解：如图，作PH⊥AB于点H.易知∠BPH＝30°.
在Rt△PBH中，BH＝PB＝30海里．
∴PH＝＝30(海里)．
∵30>50，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．

23.阅读下面材料，完成学习任务．
数学活动：测量树的高度．
在物理学中我们学过光的反射定律，数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB，测量和计算的部分步骤如下：
①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；

②将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝……
任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．
解：∵∠ABC＝∠EDC＝90°， ∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，∴＝.
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，
△ABF∽△GHF，∴＝，
∴＝，∴＝，解得y＝20.
把y＝20代入＝中，得＝，解得x＝15，
∴树的高度AB为15米．
24.【中考·绍兴】有一道作业题：
如图①，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？

小颖解得此题的答案为48 mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题：
(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成的，如图②，此时，这个矩形零件的两条相邻边长又分别为多少毫米？
解：设PQ＝x mm，
易知△APN∽△ABC，∴＝.
∴＝，解得x＝.
∴PN＝2×＝(mm)．
∴这个矩形零件的两条相邻边长分别为 mm， mm.
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样，此矩形零件的两条相邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条相邻边长．
解：设PQ＝y mm，
易知△APN∽△ABC，∴＝.
∴＝. ∴PN＝ mm.
∴S矩形＝y＝－y2＋120y＝－(y－40)2＋2 400.
∴当y＝40，即PQ＝40 mm，PN＝60 mm时，矩形面积最大．