2021年湖北省黄冈外国语学校、黄冈西湖中学、启黄中学等中考数学一模【试卷+答案】

这是一份2021年湖北省黄冈外国语学校、黄冈西湖中学、启黄中学等中考数学一模【试卷+答案】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省黄冈外国语学校、黄冈西湖中学、启黄中学等中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
1．﹣2021的绝对值是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．x3+x4＝x7
C．x3•x2＝x6 D．（﹣3x）2＝9x2
3．如图，该立体图形的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
4．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5 B．10 C．11 D．13
5．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
6．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（　　）

A．π B．2π C．2π D．4π
7．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
8．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：
①OA＝BC＝2；
②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；
③在运动过程中，∠CDP是一个定值；
④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．湖北省为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房36000000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把36000000用科学记数法表示应是 　 　．
10．在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝　 　．
11．计算：（﹣）＝　 　．
12．一组数据1，2，5，x，3，6的众数为5．则这组数据的中位数为　 　．
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以D，E点为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积为　 　．

14．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为　 　m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．

15．将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是　 　．

16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．计算：|﹣2|+（π+3）0+2cos30°﹣（）﹣1﹣．
18．如图在△ABC和△ADE中点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE
（2）如果∠AEC＝65°，将△ADE绕着A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．

19．甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：
（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；
（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．
20．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．

21．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）试探究线段AB，BC，BM之间的数量关系，并证明你的结论．

22．为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．
目的地
生产厂
A
B
甲
20
25
乙
15
24
（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．
23．2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）
时间x（分钟）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9～15
人数y（人）
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是△ABC边上一点，连接OD，将线段OD以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段OE，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标；
（3）点M在线段AB上（与A、B不重合），点N在线段BC上（与B，C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
1．﹣2021的绝对值是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
【分析】根据绝对值的定义直接求得．
解：﹣2021的绝对值为2021，
故选：A．
2．下列运算正确的是（　　）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．x3+x4＝x7
C．x3•x2＝x6 D．（﹣3x）2＝9x2
【分析】直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算得出答案．
解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
B、x3+x4，不是同类项，无法合并，故此选项错误；
C、x3•x2＝x5，故此选项错误；
D、（﹣3x）2＝9x2，正确．
故选：D．
3．如图，该立体图形的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据几何体的三视图，即可解答．
解：如图所示的立体图形的俯视图是C．
故选：C．

4．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5 B．10 C．11 D．13
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故选：D．
5．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】求出∠3即可解决问题；
解：

∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝55°，
∴∠2＝∠3＝55°，
故选：C．
6．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（　　）

A．π B．2π C．2π D．4π
【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝4，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．
解：连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝4，
∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：＝2π，
故选：B．

7．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案．
解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC于H，

由三角形面积公式得：y＝＝30，
解得EH＝AB＝6，
∴AE＝＝＝8（cm），
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，

∴AD＝AE+DE＝8+4＝12（cm），
∴矩形的面积为12×6＝72（cm2）．
故选：C．
8．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：
①OA＝BC＝2；
②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；
③在运动过程中，∠CDP是一个定值；
④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据矩形的性质即可得到OA＝BC＝2；故①正确；
②由点D为OA的中点，得到OD＝OA＝，根据勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；
③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根据三角函数的定义得到BE＝PE＝a，求得CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），根据相似三角形的性质得到FD＝，根据三角函数的定义得到∠PDC＝60°，故③正确；
④当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；于是得到当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④错误．
解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），
∴OA＝BC＝2；故①正确；
②∵点D为OA的中点，
∴OD＝OA＝，
∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；
③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝2，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，
在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，
∴BE＝PE＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD＝90°，
∵∠CPE+∠PCE＝90°，
∴∠FPD＝∠ECP，
∵∠CEP＝∠PFD＝90°，
∴△CEP∽△PFD，
∴＝，
∴tan∠PDC＝＝＝＝，
∴∠PDC＝60°，故③正确；
④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝2，AB＝2，
∵tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝30°，
当△ODP为等腰三角形时，
Ⅰ、OD＝PD，
∴∠DOP＝∠DPO＝30°，
∴∠ODP＝120°，
∴∠ODC＝60°，
∴OD＝OC＝，
Ⅱ、当D在x轴的正半轴上时，OP＝OD，
∴∠ODP＝∠OPD＝75°，
∵∠COD＝∠CPD＝90°，
∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；
当D在x轴的负半轴上时，OP′＝OD′，
∵∠AOB＝30°，
∴∠D′OP′＝150°，
∵∠CP′D′＝90°，
∴∠CP′O＝105°，
∵∠COP′＝60°，
∴∠OCP′＝15°，
∴∠BCP′＝75°，
∴∠CP′B＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴BC＝BP′＝2，
∴OD′＝OP′＝4﹣2，
∴D（2﹣4，0）；
Ⅲ、OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO＝30°，
∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，
∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（2﹣4，0）或（，0）．故④错误，
故选：C．


二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．湖北省为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房36000000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把36000000用科学记数法表示应是 　3.6×107　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将36000000用科学记数法表示为：3.6×107．
故答案为：3.6×107．
10．在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝　x（y+2）（y﹣2）　．
【分析】本题可先提公因式x，再运用平方差公式分解因式即可求解．
解：xy2﹣4x
＝x（y2﹣4）
＝x（y+2）（y﹣2）．
故答案为：x（y+2）（y﹣2）．
11．计算：（﹣）＝　﹣　．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：原式＝•
＝﹣•
＝﹣．
故答案为：﹣．
12．一组数据1，2，5，x，3，6的众数为5．则这组数据的中位数为　4　．
【分析】先根据众数的概念得出x的值，再将数据重新排列，从而根据中位数的概念可得答案．
解：∵数据1，2，5，x，3，6的众数为5，
∴x＝5，
则数据为1，2，3，5，5，6，
∴这组数据的中位数为＝4，
故答案为：4．
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以D，E点为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积为　2　．

【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积＝×4×1＝2．
故答案为：2．
14．如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为　3　m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．

【分析】根据正切的定义分别求出AC、BC，结合图形计算即可．
解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，
则BC＝CD•tan∠BDC＝10（m），
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，
则AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3（m），
∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），
故答案为：3．
15．将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是　625　．

【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决．
解：由图可得，
第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，
∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，
故答案为：625．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是 　﹣　．

【分析】当点M在AB上运动时，MN⊥MC交y轴于点N，此时点N在y轴的负半轴移动，定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐标，而直线y＝kx+b与y轴交于点N（0，b），此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．
解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，

∴∠A＝∠ABO＝90°，
又∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMC＝∠MNB，
∴△AMC∽△NBM，
∴，
设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，
∴，
即：y＝﹣x2+x
∴当x＝﹣＝﹣时，y最大＝﹣×（）2+＝，
∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）
当BN最大，此时ON最小，点N （0，b）越往上，b的值最大，
∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝，
此时，N（0，﹣）
b的最大值为﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．计算：|﹣2|+（π+3）0+2cos30°﹣（）﹣1﹣．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
解：原式＝2+1+2×﹣3﹣2
＝2+1+﹣3﹣2
＝﹣．
18．如图在△ABC和△ADE中点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE
（2）如果∠AEC＝65°，将△ADE绕着A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．

【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD，直接利用ASA判定定理判定，即可证得：△ABC≌△ADE；
（2）由将△ADE绕着A旋转一个锐角后与△ABC重合，可得AE＝AC，即可求得∠EAC的度数，即这个旋转角的大小．
【解答】（1）证明：在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；

（2）解：∵将△ADE绕着A旋转一个锐角后与△ABC重合，
∴AE＝AC，
∵∠AEC＝65°，
∴∠C＝∠AEC＝65°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝50°，
即这个旋转角的大小是50°．
19．甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：
（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；
（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．
【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数，然后根据概率公式计算；
（2）找出取出的3个小球上全是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，
所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率＝；
（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，
所以取出的3个小球上全是奇数的概率＝＝．
20．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．

【分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x的取值范围；
（2）将点A，点B坐标代入两个解析式可求k2，n，k1，b的值，从而求得解析式；
（3）根据S△AOP：S△BOP＝1：2，可得答案．
解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
由图象可得：k1x+b＞的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；

（2）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣1，4），B（4，n），
∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n，
∴n＝﹣1，
∴B（4，﹣1），
∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A，点B，
∴，
解得：k1＝﹣1，b＝3，
∴一次函数的解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝﹣；

（3）设直线AB与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
∵S△AOC＝×3×1＝，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×4＝，
∵S△AOP：S△BOP＝1：2，
∴S△AOP＝×＝，
∴S△AOC＜S△AOP，S△COP＝﹣＝1，
∴×3•xP＝1，
∴xP＝，
∵点P在线段AB上，
∴y＝﹣+3＝，
∴P（，）．

21．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）试探究线段AB，BC，BM之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；
（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB＝ME，进而得结论．
解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，

∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AC＝2，
∴AH＝AC＝，
∴OA＝＝＝2，
故⊙O的半径为2；
（2）AB+BC＝BM，理由如下：
在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，

∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE（SAS），
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
22．为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．
目的地
生产厂
A
B
甲
20
25
乙
15
24
（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．
【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；
（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
（3）根据题意以及（2）的结论可得y＝﹣4x+11000﹣500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．
解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：
，解得，
即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；

（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，
∵，解得：40≤x≤240，
又∵﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝240时，可以使总运费最少，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；

（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，
当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，
∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，
而0＜m≤15且m为整数，
∴m的最小值为10．
23．2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）
时间x（分钟）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9～15
人数y（人）
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【分析】（1）分两种情况讨论，利用待定系数法可求解析式；
（2）设第x分钟时的排队人数为w人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x＝7时，w的最大值＝490，当9＜x≤15时，210≤w＜450，可得排队人数最多时是490人，由全部考生都完成体温检测时间×每分钟检测的人数＝总人数，可求解；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由“在12分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求解．
解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，
①当0≤x≤9时，y是x的二次函数，
∵当x＝0时，y＝0，
∴二次函数的关系式可设为：y＝ax2+bx，
由题意可得：，
解得：，
∴二次函数关系式为：y＝﹣10x2+180x，
②当9＜x≤15时，y＝810，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝；
（2）设第x分钟时的排队人数为w人，
由题意可得：w＝y﹣40x＝，
①当0≤x≤9时，w＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，
∴当x＝7时，w的最大值＝490，
②当9＜x≤15时，w＝810﹣40x，w随x的增大而减小，
∴210≤w＜450，
∴排队人数最多时是490人，
要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x＝0，
解得：x＝20.25，
答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由题意得：12×20（m+2）≥810，
解得m≥，
∵m是整数，
∴m≥的最小整数是2，
∴一开始就应该至少增加2个检测点．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是△ABC边上一点，连接OD，将线段OD以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段OE，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标；
（3）点M在线段AB上（与A、B不重合），点N在线段BC上（与B，C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分点D1在AC上、点E1在A′C′上；点D2在AB上、点E2在A′B′上；点D3在BC上、点E3在B′C′上三种情况，分别求解即可；
（3）分∠MCN为直角、∠CMN为直角、∠MNC为直角两种情况，利用三角形相似求解即可．
解：（1）∵点A（﹣1，0），B（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+2上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2①；

（2）将△ABC以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴A′（0，﹣1），B′（0，4），C′（﹣2，0），
如图1，当点D1在AC上、点E1在A′C′上时，

设直线A′C′的解析式为y＝kx+b，将点A′（0，﹣1），C′（﹣2，0）代入得，解得，
∴直线A′C′的解析式为：y＝﹣x﹣1②，
联立①②并解得：或；
∴E1（2﹣，）；
当点D2在AB上、点E2在A′B′上时，即y轴与抛物线的交点 E2（0，2） ，
当点D3在BC上、点E3在B′C′上时，与抛物线没有交点，
∴E1（2﹣，）或 E2（0，2）；

（3）存在，理由：
由点A、B、C的坐标得，AB2＝25，BC2＝4+16＝20，AC2＝1+4＝5，
则AB2＝BC2+AC2，
故△ABC为以AB为斜边的直角三角形，tan∠ABC＝；
以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，则△CMN为直角三角形，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
点N在BC上，故设点N（n，﹣n+2），设点M（m，0）；
①当∠MCN为直角时，
此时点M与点A重合，不符合题意，
②当∠CMN为直角时，如图2，

过点N作NG⊥x轴于点G，
∵∠GMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，
∴∠MCO＝∠NMG，
∴Rt△NGM∽Rt△MOC，
当∠MCN＝∠ABC时，
tan∠ABC＝，即两个三角形的相似比为1：2，
则NG＝OM，MG＝OC＝1，
即﹣n+2＝m且n﹣m＝1，
解得：n＝，
故点N的坐标为（，）；
当∠MNC＝∠ABC时，
同理可得：n＝4（舍去）；
③当∠MNC为直角时，如图3，

过点N作x轴的垂线，垂足为点H，过点C作CG⊥NH交NH的延长线于点G，
当∠CMN＝∠ABC时，
同理可得：△CGN∽NHM且相似比为，
则CG＝NH，即n＝×（﹣n+2），解得：n＝，
故点N的坐标为（，）；
当∠MCN＝∠ABC时，
则MC＝MB，而MN⊥BC，则点N是BC的中点，
由中点公式得，点N（2，1）；
综上，点N的坐标为：（2，1）或（，）或（，）．