高中人教版新课标A第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质学案设计

3.2.3　直线的一般式方程

直线的一般式方程

(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．

(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．

(3)系数的几何意义：

①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；

②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．

思考：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？

[提示]　(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．

(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．

(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．

1．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)

A．30°　　　B．60°　　　C．150°　　　D．120°

C　[直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.]

2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)

A. A≠0     B. B≠0

C. A·B≠0     D. A2＋B2≠0

D　[方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 故选D. ]

3．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．

2x－y＋1＝0　[由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.]

4．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线的一般式方程是________．

3x＋2y－6＝0　[由截距式得，所求直线的方程为＋＝1，即3x＋2y－6＝0.]

直线的一般式方程

【例1】　根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．

(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；

(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；

(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；

(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4).

[解]　(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，

即x＋2y－4＝0.

(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.

(3)由截距式得＋＝1，

即2x－y－3＝0.

(4)由两点式得＝，

即x＋y－1＝0.

1．求直线的一般式方程的策略

(1)首先选择不同的形式求出直线方程，再整理成Ax＋By＋C＝0的形式．

(2)直线Ax＋By＋C＝0中虽然参数含有三个，但其实只需两个即可：或点与斜率，或斜率和截距，或两个截距等．

2．直线方程的几种形式的转化

提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件．

1．(1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　)

A．3x＋4y＋7＝0　　 B．4x＋3y＋7＝0

C．4x＋3y－42＝0     D．3x＋4y－42＝0

(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　)

A．　　　B．－5    C．　　　D．－3

(1)B　(2)D　[(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项．

又y＝－x＋14过点(0，14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确．

(2)令y＝0，则x＝－3.]

由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直

【例2】　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；

(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？

[解]　法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，

l2：mx＋3y－2＝0知：

①当m＝0时，显然l1与l2不平行．

②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.

解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.

(2)由题意知，直线l1⊥l2.

①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．

②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．

③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.

当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，

即·＝－1，

∴a＝－1.

综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.

法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，

解得m＝－3或m＝2.

当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，

显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.

同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，

显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.

(2)由题意知直线l1⊥l2，

∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，

将a＝±1代入方程，均满足题意．

故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.

1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).

(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

2．与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程的设法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.

2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足

(1)过点(－1，3)，且与l平行；

(2)过点(－1，3)，且与l垂直．

[解]　法一：由题设l的方程可化为y＝－x＋3，

∴l的斜率为－.

(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－.

又∵l′过(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.

(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为，

又过(－1，3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，

即4x－3y＋13＝0.

法二：(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.

将点(－1，3)代入上式得m＝－9.

∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.

(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.

将(－1，3)代入上式得n＝13.

∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.

与含参数的一般式方程有关的问题

[探究问题]

1．直线kx－y＋1－3k＝0是否过定点？ 若过定点，求出定点坐标．

[提示]　kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，由点斜式方程可知该直线过定点(3，1).

2．若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，k，b应满足什么条件？

[提示]　若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，则应满足k>0且b≥0.

【例3】　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．

思路探究：(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.

[解]　(1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－＝a，

∴直线l的斜率为a，且过定点A，

而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．

法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.

∵上式对任意的a总成立，

必有即

即l过定点A. 以下同法一．

(2)直线OA的斜率为k＝＝3.

如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3.

直线恒过定点的求解策略

(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标．

(2)①将方程转化为f(x，y)m＋g(x，y)＝0；

②解方程组的解(x0，y0)；

③(x0，y0)即为含参数直线的定点．

1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法

(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．

(2)可直接采用如下方法：

一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.

这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．

2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法

(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.

(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

第二种方法可避免讨论，减小失误．

1．直线＋＝1，化成一般式方程为(　　)

A．y＝－x＋4　　 B．y＝－(x－3)

C．4x＋3y－12＝0     D．4x＋3y＝12

C　[直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.]

2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件(　　)

A.bc＝0     B．a≠0

C．bc＝0且a≠0     D．a≠0且b＝c＝0

D　[y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为

b＝c＝0，a≠0.]

3．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________．

x－3y＋24＝0　[直线2x－3y＋12＝0的斜率为，所以kl＝.又直线2x－3y＋12＝0在y轴的截距为4，所以直线l在y轴上的截距为8，所以直线l的方程为y＝x＋8，即x－3y＋24＝0.]

4．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．

y＋4＝(x－0)　＋＝1　y＝x－4　x－y－4＝0　[点斜式方程：y＋4＝(x－0)，截距式方程：＋＝1，斜截式方程：y＝x－4，一般式方程x－y－4＝0.]

5．已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．

(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.

[解]　(1)∵l1∥l2，∴

解得a＝2.

(2)l1⊥l2得a×3＋2×(a＋1)＝0，得a＝－.