专题40 新信息背景下的数列问题（解析版）教案

这是一份专题40 新信息背景下的数列问题（解析版）教案，共14页。教案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题40  新信息背景下的数列问题【热点聚焦与扩展】含“新信息”背景的数列问题，往往使人感到是难题.难点通常为：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点.传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”.但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向.三是此类问题的解答题，往往设计成为“连环题”，即前面问题的处理是为了后一问做好铺垫.但学生不易发现其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题难度陡然增加.本专题通过例题说明应对这种“新信息”背景下数列问题的方法与技巧.1、此类问题常涉及的知识点（1）等差数列与等比数列的性质与求和公式（2）数列的单调性（3）放缩法证明不等式（4）简单的有关整数的结论（5）数学归纳法与反证法2、解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基依然是我们所学的一些基知识与方法.所以在考虑问题时也要注意应用转化与化归思想，向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考查的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅱ卷理数12】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是              （   ）A．            B．            C．            D． 【答案】C【思路导引】【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，．对于选项A，，不满足；对于选项B，，不满足；对于选项D，，不满足；故选：C【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是读懂题意，充分利用已知条件解题．例2．（2020·陕西西安·高新一中高三三模）设为最接近的整数，如，若正整数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，是整数，则不是整数，因此任意正整数的正的平方根不可能是形式，∴，，∵，∴，故时，共个，设，则，，由题意 ，，∴，故，为方程的最大整数解，∴．故选：B．例3．（2020·湖北武汉·高三三模）将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当(且p､)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则数列的前2020项和为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】当为偶数时，；当为奇数时，；所以数列的前2020项和.故选：A.例4．（2020·河南高三三模）设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）.若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则（    ）A．2020 B．2020 C．2021 D．2022【答案】C【解析】当时，，，，，从第2项起是等差数列.又，，，，，当时，，（），当时，.又，.故选：C.例5．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）斐波那契(约1170~1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列满足，，设，则（    ）A．2020 B．2020 C．2021 D．2022【答案】B【解析】因为斐波那契数列满足，，则和式中，偶数项代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，依次进行下去，则，则.故选:B.例6．（2020·上海市南洋模范中学高三三模）在平面直角坐标系中，定义（）为点到点的变换，我们把它称为点变换，已知，，，是经过点变换得到一组无穷点列，设，则满足不等式最小正整数的值为（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】由定义知，，，即．，观察可得，，，∴数列是等比数列，公比为2，首项为1．∴．，由，解得．即的最小值为11.故答案为：C例7．（2020·北京中关村中学高三三模）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下（）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为 （    ）A．7 B．10 C．12 D．22【答案】A【解析】由题意知，，，故选：A.例8．（2020·河南开封·高三三模）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，数列满足，且则解下5个环所需的最少移动次数为（    ）A．7 B．10 C．16 D．22【答案】C【解析】，，故选：C 【精选精练】1．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三三模）“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到，得到即终止运算，己知正整数经过次运算后得到，则的值为（    ）A．或 B．或 C． D．或或【答案】A【解析】设经过第次运算后变为，可知，，，，，则，，若为奇数，则，得，不合乎题意，所以，为偶数，且.若为奇数，则，得，不合乎题意；若为偶数，则.若为奇数，则，可得；若为偶数，则.综上所述，或.故选：A.2．（2020·湖北黄州·黄冈中学高三三模）将正整数20分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为20最佳分解.当（且，）是正整数的最佳分解时，定义函数，则数列的前2020项的和为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】当为偶数时，，当为奇数时，，所以.故选：D.3．（2020·四川武侯·成都七中高三三模）已知数列满足，，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第行有个数，），从左至右第行第个数记为（，且），则（    ）………………A． B． C． D．【答案】D【解析】由题知表示第21行从左至右的第20个数，即从右至左的第2个数，每一行的数字个数组成首项为1，公差为1的等差数列，则前20行的数字总数为：.所以表示数列的第212项，所以.故选：D4．在数列中，如果存在非零的常数，使得对于任意正整数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫做数列的周期. 已知数列满足，若，当数列的周期为时，则数列的前项的和为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知, 数列的周期为且满足当时, ,则所以而 则所以选D5．（2020·全国高三三模）由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，， ，，，， ，， ，…．若数对 满足，其中，则数对排在（　　）A．第351位 B．第353位 C．第378位 D．第380位【答案】B【解析】（673为质数），故 或者，，得，在所有数对中，两数之和不超过27的有 个，在两数之和为28的数对中，为第二个（第一个是）,故数对排在第位，故选B6．（2020·越秀·广东实验中学高三三模）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＞1，且6Sn＝an2+3an+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（　　）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]【答案】A【解析】由6Sn＝an2+3an+2，当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，当n≥2时，6Sn﹣1＝an﹣12+3an﹣1+2，两式相减得6an＝an2+3an﹣（an﹣12+3an﹣1），整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，由an＞0，所以an+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1＝3，所以数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以an+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，所以＝＝3﹣＜3，因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3，对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，即为：2t2+at﹣4≥0，对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，则f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有，解得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）故选：A．7．（2020·宁县第二中学高三三模）已知等差数列的前项和为，若且，，三点共线（该直线不过原点），则的值为（    ）A．1007 B．2018 C．1009 D．2007【答案】C【解析】因为，，三点共线，所以向量与共线，所以有且只有一个实数，使得，所以，所以，又，由平面向量基本定理可知，，所以，所以.故选：C8．（2020·江苏省梅村高级中学高三三模）已知数列满足(n≥3)，则数列的前10项和为（    ）A．48 B．49 C．50 D．61【答案】D【解析】由，，当时，，可得，，，，，，，，则．故选：D．9．（2020·眉山市彭山区第一中学高三三模）设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得，再运用积化和差公式可得，即，再由差化积公式可得．由于是等差数列，因此，即，所以即注意到，则，所以，故对称轴方程故等差数列的前项和是，即，其对称轴是，由题设可得，即，应选答案D．10．（2020·全国高三三模）已知数列满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，所以，得.所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以.设的前项和为，则，两边同乘2，得，两个式子相减得，所以，所以.故选：A11．（2020·黑龙江松北·哈九中高三三模）如图，已知点D为的边BC上一点，，为AC边的一列点，满足，其中实数列中，，，则的通项公式为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】,又因为，A，C三点共线，即，即，所以数列是等比数列，首项为2，公比为3．，即，故选：D．12．（2020·江西横峰·高三三模）已知数列满足：，，若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为数列满足：，，所以，即，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以，又，且数列是单调递增数列，  所以，即，解得，故选：B