专题54 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题（原卷版）学案

专题54  圆锥曲线的定点、定值、定直线问题

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.

（一）所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.

1、常见定值问题的处理方法：

（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示

（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.

2、定值问题的处理技巧：

（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.

（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢

（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算

（二）处理定点问题的思路：

（1）确定题目中的核心变量（此处设为）

（2）利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式

（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到.常见的变形方向如下：

① 若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可

② 若等式为含的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）

2、一些技巧与注意事项：

（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.

（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线，就应该能够意识到，进而直线绕定点旋转.

（三）定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．

【经典例题】

例1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数21】已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为与的另一交点为．

（1）求的方程；

（2）证明：直线过定点．

例2．【2020年高考山东卷】

已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求的方程；

（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

例3．（2020·广东华南师大附中高三三模）已知椭圆的短轴长为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两个不同点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设为原点，若，求证：直线经过定点.

例4．（2020·陕西西安·高新一中高三三模）已知圆与x轴的正半轴交于点A，过圆O上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹记为曲线，设过原点O且异于两坐标轴的直线与曲线交于B，C两点，直线AB与圆O的另一个交点为M，直线AC与圆O的另一个交点为N，设直线AB，AC的斜率分别为.

（1）求的值；

（2）判断是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.

例5．（2020·六盘山高级中学高三三模）已知抛物线与圆相交于，两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点，.

（1）求抛物线的方程.

（2）过点，作抛物线的切线，，是，的交点，求证：点在定直线上.

例6．（2020·广西南宁三中高三三模）椭圆的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点.

例7．（2020·江苏南京师大附中高三三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点，求证：是定值.

例8．（2020·河北衡水中学高三三模）如图所示，椭圆的左､右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.

【精选精练】

1．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为，，P是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于.设点P的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程；

（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C相交于M，N两点，则直线，的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.

2．（2020·安庆市第七中学高三三模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．

3．（2020·云南昆明一中高三三模）已知点Q是圆M: 上一动点(M为圆心)，点N的坐标为(1，0)，线段QN的垂直平分线交线段QM于点C，动点C的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的轨迹方程;

（2）直线l过点P(4，0)交曲线E于点A，B，点B关于x的对称点为D，证明:直线AD恒过定点.

4．（2020·山西大同·高三三模）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为、，已知，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上异与、的点，与轴垂直的直线分别交直线、于点、，求证：直线与直线的斜率之积是定值．

5．（2020·首都师范大学附属中学高三三模）已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．

(1)求椭圆C的方程；

（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

6．（2020·黑龙江铁人中学高三三模）已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互不重合.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.

7．（2020·山东高三三模）已知椭圆过点，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点，为等腰直角三角形的三个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线不经过点且与椭圆相交于，两点.若直线与直线的斜率之积为1，证明：直线过定点.

8．（2020·江苏徐州·高三三模）已知直线与曲线交于不同的两点、，O为坐标原点.

（1）若，，求证：曲线是一个圆；

（2）若曲线，是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.

9．（2020·江苏高三三模）已知椭圆：过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点的坐标是，，是椭圆上的两点，满足，证明：直线过定点.

10．（2020·湖北武汉·高三三模）椭圆：的离心率，长轴端点和短轴端点的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点是圆上异于点和的任一点，直线与椭圆交于点，，直线与椭圆交于点，.设为坐标原点，直线，，，的斜率分别为，，，.问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

11．（2020·涡阳县育萃高级中学高三三模）椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点，线的倾斜角为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上.

12．（2020·广东高三三模）已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.