2020-2021学年第一学期江苏省南京市三校联考八年级上册期中考试数学试卷（含解答）

这是一份2020-2021学年第一学期江苏省南京市三校联考八年级上册期中考试数学试卷（含解答），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑 7 个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂 黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有（ ）
A. 4 种 B. 3 种 C. 2 种 D. 1 种
3.如果等腰三角形的一个内角为50°，那么其它两个内角为（ ）
A. 50°，80° B. 65°，65° C. 50°，65° D. 50°，80°或 65°，65°
4.满足下列条件△ABC，不是直角三角形的是( )
A. ∠A＝∠B+∠C B. ∠A:∠B:∠C＝1：1：2 C. b2 ＝ a2+c2 D. a:b:c＝1:1:2
5.如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠A′CB′=70°，则∠ACA′的度数是（ ）
​
A. 20° B. 30° C. 35° D. 40°
6.下列说法中错误的是（ ）
A. 有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
B. 有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
C. 有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
D. 有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等
7.如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（ ）
A. 17 B. 18 C. 20 D. 25
8.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A. 1 B. 2018 C. 2019 D. 2020
9.如图所示，有一个高 16cm ，底面周长为 24cm 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底 2cm 的点 S 处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处 2cm 的点 F 处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（ ） cm.
A. 122 B. 20 C. 24 D. 28
10.我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾和股的差值为（ ）
A. 4 B. 1 C. 2 D. 以上都不对
二、填空题（共8题；共16分）
11.下列图形中全等图形是________(填标号).
12.如图，已知AC与BF相交于点E ， AB∥CF ， 点E为BF中点，若CF=6，AD=4，则BD=________．
13.如图①是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，若∠DEF=x，将图③中∠CFE用x表示为________
14.在等腰三角形中，两边长分别是是4和9，其周长为________.
15.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于 12 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN ， 分别交边AB ， BC于点D和E ， 连接CD ． 若∠BCA＝90°，AB＝8，则CD的长为________．
16.《九章算术》第九章勾股篇中记载：“今有开门去阃（ kun ）一尺，不合二寸，问门广几何？”其大意是：今推开双门，门框到门槛的距离（称为“去阃”） DF 为一尺，双门之间的缝隙（称为“不合”） EF 为2寸（注：一尺为10寸），则门宽 AB 为________尺．
17.如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是________（请将所有正确结论的序号都填上）．
18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC =3，BC =4，AB=5，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是________.
三、解答题（共8题；共64分）
19.阅读下面的材料 勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4× 12 ab+c2
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2 ．
所以a2+b2=c2 ．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述方法证明勾股定理．
20.如图①、图②、图③都是 3×3 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A， B ，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与 AB 重合的线段 MN ，使 MN 与 AB 关于某条直线对称，且M，N为格点．
（2）在图②中，画一条不与 AC 重合的线段 PQ ，使 PQ 与 AC 关于某条直线对称，且P，Q为格点．
（3）在图③中，画一个 ΔDEF ，使 ΔDEF 与 ΔABC 关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
21.如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.
22.如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E．
（1）求证：△ACE是等腰三角形．
（2）若AC=13，CE=10，求△ACE的面积．
23.我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同时8，6，10也为勾股数组，记为（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．类似的，依次可以得到第三个勾股数组（15，8，17）．
（1）请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；
（2）若设勾股数组中间的数为2n（n≥2，且n为整数），根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．
24.如图，某斜拉桥的主梁 AD 垂直于桥面 MN 于点D，主梁上两根拉索 AB 、 AC 长分别为13米、20米．
（1）若拉索 AB⊥AC ，求固定点B、C之间的距离；
（2）若固定点B、C之间的距离为21米，求主梁 AD 的高度．
25.如图，已知:△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F.
（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF（如图1）；
（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明:EF=BE－CF；
（3）如图3，当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF、BE、CF之间的关系，不必证明.
26.如图，点P、Q分别是等边 ΔABC 边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP求证： ΔABQ≅ΔCAP
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M， ∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M， ∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
答案
一、选择题
1.A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，故D符合题意．
故答案为：D.
2.解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形．
故选：B．
3.解：当50°是底角时，顶角为180°-50°×2=80°，
当50°是顶角时，底角为（180°-50°）÷2=65°．
故这个等腰三角形的另外两个内角度数分别是50°，80°或65°，65°．
故答案为：D．
4.A、∠A＝∠B+∠C可得∠A＝90 ° ，△ABC是直角三角形；
B、∠A:∠B:∠C＝1：1：2，可得∠C＝90 ° ，△ABC是直角三角形；
C、 b2 ＝ a2+c2 ，可得△ABC是直角三角形；
D、a:b:c＝1:1:2不能得到△ABC是直角三角形；
故答案为：D．
5.解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′=70°，
∴∠ACA′=∠ACB﹣∠A′CB=40°
故选：D．
6.解：A．有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等,是“ASA”,说法不符合题意；
B．两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,是“AAS”,说法不符合题意；
C．有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等,是“SAS”,说法不符合题意；
D．有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,说法符合题意；
故答案为：D．
7.解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ED=CD，
在Rt△ADE和△RtADC中，
{CD=EDAD=AD ，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AC=AE，
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=AB-AC+BC=（13-5）+12=20.
故答案为：C.
8.解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2=c2 ，
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．
正方形D的面积+正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．
推而广之，即：每次“生长”的正方形面积和为1，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1=2020．
故答案为：D．
9.如图：
过F点作容器上沿的对称点B，过S作SC⊥BC于C，
连接SB，则SB即为最短距离，
由题意得：SC为圆柱体的底面周长的一半， SC=12×24=12 (cm)，
FD=BD=2，
∴B C=16 (cm)，
∴ SB=SC2+BC2=122+162=20 ．
故答案为：B．
10.设勾为x，股为 y(x∵ 大正方形面积为9，小正方形面积为5，
∴4×12×xy+5=9 ，
∴xy=2 ，
∵x2+y2=5 ，
∴y-x=(y-x)2=x2+y2-2xy=5-2×2=1 ，
x-y=-1 ，
故答案为：D．
二、填空题
11.由全等形的概念可知：共有1对图形全等，即⑤和⑦能够重合，故答案为⑤和⑦.
12.解：∵AB∥CF，
∴∠A=∠FCE，∠B=∠F，
∵点E为BF中点，
∴BE=FE，
在△ABE与△CFE中，
{∠A＝∠FCE∠B＝∠FBE＝FE ，
∴△ABE≌△CFE（AAS），
∴AB=CF=6，
∵AD=4，
∴BD=2，
故答案为：2．
13.解：∵长方形的对边是平行的，
∴∠BFE=∠DEF=x；
∴图①、②中的∠CFE=180°﹣∠BFE，
∴图②中的∠CFB=180°﹣2∠BFE，
∵以下每折叠一次，减少一个∠BFE，
∴图③中的∠CFE=180 °﹣3x.
故答案为：180°-3x.
14.当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9，4+4＜9，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，三边关系成立，周长为4+9+9=22.
∴周长是22.
15.解：连接CD ，
由作图可知：点M、点N在线段BC的垂直平分线上，
∴MN垂直平分线段BC
∴CD＝BD ，
∴∠DCB＝∠B ，
∵∠BCA＝90°，
∴∠A+∠B＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠ACD ，
∴CD＝AD ，
∴CD＝ 12 AB ，
∵AB＝8，
∴CD＝4，
故答案为：4．
16.解：设OA=OB=AE=BF= x ，过E作EC⊥AB于C，过F作FD⊥AB于D，如图：
则须EC=1，OC= 12 CD=0.1，AC= x -0.1．
在Rt△ACE中，
AC2+CE2=AE2 ，即 (x-0.1)2+12=x2 ，
解得： x=10.12 （尺）．
故门的宽度（两扇门的和）AB为10.1（尺）．
故答案为：10.1．
17.①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
{PR=PSAP=AP ，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，
∴AR=AS，∴①正确；②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP//AR，∴②正确；③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③错误；④如图，连接RS，与AP交于点D，
在△ARD和△ASD中，
{AR=AS∠RAP=∠SAPAD=AD ，
∴△ARD≌△ASD，
∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°，
所以AP垂直平分RS，故④正确，
故答案为：①②④．
18.解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN的最小值.
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2＋BC2＝AB2 ，
∴∠ACB＝90°，
∴ 12 AB•CE＝ 12 BC•AC，
即5CE＝3×4
∴CE＝2.4.
即CM＋MN的最小值为2.4.
故答案为：2.4
三、解答题
19.证明：∵S大正方形=c2 ， S大正方形=4S△+S小正方形=4× ab+（b﹣a）2 ， ∴c2=4× ab+（b﹣a）2 ，
整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2 ，
∴c2=a2+b2 ．
20. （1）解：如图①， 3×3 的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连接 MN 即为所求；
（2）解：如图②，同理（1）可得， PQ 即为所求；
（3）解：如图③，同理（1）可得， ΔDEF 即为所求．
21. （1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
{AB=AC∠1=∠EACAD=AE ，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°.
22. （1）证明： ∵ CE平分∠ACD，∴∠ACE = ∠ECD．
∵ AB // CD，∴∠AEC = ∠ECD，∴∠ACE = ∠AEC，∴△ACE是等腰三角形
（2）解：过A作AG⊥CE，垂足为G．
∵AC=AE，∴CG=EG= 12 CE=5（cm）．
∵AC=13（cm），由勾股定理得，AG=5（cm），∴S△ACE= 12 ×24×5=60（cm2）
23. （1）解：上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52 ， 62+82＝102 ， 82+152＝172 ，
即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2 ，
所以第5个勾股数组为（35，12，37）
（2）解：勾股数为n2﹣1，2n，n2+1
24.（1）解： ∵AB⊥AC ，
∴∠BAC=90° ，
∵AB 、 AC 长分别为 13 米、 20 米，
∴BC=AB2+AC2=132+202=569m ，
答：固定点B、C之间的距离为 569m ；
（2）解： ∵BC=21 ，
∴BD=21-CD ，
∵AD⊥BC ，
∴AB2-BD2=AC2-CD2 ，
∴132-BD2=202-(21-BD)2 ，
∴BD=5 ，
∴AD=AB2-BD2=132-52=12m ．

25. （1）证明：∵BE⊥EA,CF⊥AF∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90'，∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA十∠EAB=90°
∴∠CAF=∠EBA,
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC，∠EBA=∠FAC，AB=AC,
∴△BEA≌△AFC中，∴EA=FC，BE=AF,
∴EF=EA＋AF= BE十CF.
（2）证明:∵BE⊥EA,CF⊥AF,.
∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°,∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB= 90°,∠CAF=∠ABE,
在△ABE和△ACF中，∠EBA=∠FAC，∠BEA=∠CFA，AB=AC，
∴△BEA≌A△AFC∴EA=FC,BE=AF，
∵EF=AF+AE，∴EF=BE+CF.
（3）解：EF=CF-BE,理由是:∵BE⊥EA，CF⊥AF.∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°
∴∠EAB+∠CAF=90°,∠ABE+∠EAB=90°.
∠CAF=∠ABE,在△ABE和△ACF中，
∠EBA=∠FAC，∠BEA=∠CFA，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC,∴EA=FC,BE=CF.EF=EA-AF,
∴EF=CF-BE.
26. （1）证明：∵三角形ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，
∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，
∴BQ=AP，
在△ABQ与△CAB中，
{AB=AC∠ABC=∠CABBQ=AP
∴ ΔABQ≅ΔCAP(SAS) ．
（2）解：角度不变，60°，理由如下：
∵ ΔABQ≅ΔCAP
∴∠CPA=∠AQB，
在△AMP中，
∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，
∴∠QMC=∠AMP=60°，
故∠QMC的度数不变，度数为60°．
（3）解：角度不变，120°，理由如下：
当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，
有AP=BQ，∴BP=CQ
∵∠ABC=∠BCA=60°，
∴∠CBP=∠ACQ=120°，
{BC=AC∠CBP=∠ACQBP=CQ
∴ △CBP≅△ACQ(SAS)
∴∠Q=∠P，
∵∠QCM=∠BCP，
∴∠QMC=∠CBP=120°，
故∠QMC的度数不变，度数为120°．