初中数学湘教版九年级上册3.4 相似三角形的判定与性质精练

这是一份初中数学湘教版九年级上册3.4 相似三角形的判定与性质精练，共11页。
一、选择题
1.【中考·内江】已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为( )
A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9
2.【中考·铜仁】已知△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为( )
A．32 B．8 C．4 D．16
3.【中考·昆明】两个相似三角形面积的比为4∶3，那么它们的对应边上的高的比为( )
A．4∶3 B．2∶eq \r(3) C．16∶9 D．不能确定
4．【2020·铜仁】已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为( )
A．3 B．2 C．4 D．5
5.【中考·沈阳】已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( )
A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9
6.【2019·淄博】如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为( )
A．2a B.eq \f(5,2)a C．3a D.eq \f(7,2)a

第6题图 第7题图 第8题图 第10题图
7.【2020·云南】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
8.【2019·常德】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积为( )
A．20 B．22 C．24 D．26
9.【2021·宜宾叙州区期末】两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为( )
A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm
10.如图，△OAB∽△OCD，OA∶OC＝3∶2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是( )
A.eq \f(OB,CD)＝eq \f(3,2) B.eq \f(α,β)＝eq \f(3,2) C.eq \f(S1,S2)＝eq \f(3,2) D.eq \f(C1,C2)＝eq \f(3,2)
11.【2020·永州】如图，在△ABC中，EF∥BC，eq \f(AE,EB)＝eq \f(2,3)，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是( )
A.eq \f(91,3) B．25 C．35 D．63

第11题图 第12题图 第13题图
12.【2020·海南】如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( )
A．16 B．17 C．24 D．25
13.如图,在矩形ABCD中,E是CD边的中点,且BE⊥AC于点F,连接DF,则下列结论错误的是( )
A.△ADC∽△CFBB.AD=DF C.BCAC=12D.S△CEFS△ABF=14
二、填空题
14.(1)相似三角形的面积之比等于______________．
(2)相似三角形的周长之比等于________．
15.【中考·抚顺】如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比eq \f(3,5)进行缩小，得到的直角三角形的面积是____________．
16.已知两个相似三角形的相似比为2∶5，其中较小的三角形的面积为4，那么另一个三角形的面积为__________．
17.两个相似三角形的最短边的长分别为5 cm和3 cm，它们的周长之和为48 cm，那么小三角形的周长为________ cm.
18.已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560 cm，则它们的周长分别为__________________．
19.【中考·包头】如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F， 3AE＝2EB，连接DF.若S△AEF＝1，则S△ADF的值为_______．

第19题图 第20题图
20.如图,M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1,△2,△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,则△ABC的面积是 .
三、解答题
21.【2020·新疆改编】如图，在△ABC中，D是AB的中点，过点D分别作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，△DFE的面积为1，求△ABC的面积．
22.【2020·郑州外国语中学期末】某社区拟筹资金2 000元，计划在一块上、下底分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为20元/平方米的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．
23.【2020·杭州】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC.
(2)若eq \f(AF,FC)＝eq \f(1,2).
①当BC＝12时，求线段BE的长；
②当△EFC的面积是20时，求△ABC的面积．
24.如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,且DE⊥BC,AD=AC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.
(1)求证:∠ECB=∠B;
(2)求证:△ABC∽△FCD;
(3)若△FCD的面积为7.5,BC=10,求DE的长.
25.两个相似三角形的一组对应边的长分别是24 cm和12 cm.
(1)若它们的周长和是120 cm，则这两个三角形的周长分别是多少？
(2)若它们的面积差是420 cm2，则这两个三角形的面积分别是多少？
26.问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点(不与A，B重合)，DE∥BC，交AC于点E，连接CD.设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′.
(1)当AD＝3时，eq \f(S′,S)＝________；
(2)设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示eq \f(S′,S).
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝eq \f(1,2)BC，E是AB上一点(不与A，B重合)，EF∥BC，交CD于点F，连接CE.设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示eq \f(S′,S).
参考答案
一、选择题
1.【中考·内江】已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为( D )
A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9
2.【中考·铜仁】已知△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为( C )
A．32 B．8 C．4 D．16
【点拨】∵△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，∴△ABC与△DEF的面积比为4∶1.∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积＝16×eq \f(1,4)＝4.
3.【中考·昆明】两个相似三角形面积的比为4∶3，那么它们的对应边上的高的比为( B )
A．4∶3 B．2∶eq \r(3) C．16∶9 D．不能确定
4．【2020·铜仁】已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为( A )
A．3 B．2 C．4 D．5
5.【中考·沈阳】已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( C )
A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9
6.【2019·淄博】如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为( C )
A．2a B.eq \f(5,2)a C．3a D.eq \f(7,2)a

第6题图 第7题图 第8题图 第10题图
7.【2020·云南】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于( B )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
8.【2019·常德】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积为( D )
A．20 B．22 C．24 D．26
【点拨】如图所示．
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴eq \f(S△AFH,S△ADE)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(FH,DE)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,16).
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x－9x＝7，解得x＝1.
∴S△ADE＝16.
∴四边形DBCE的面积为42－16＝26.
易错警示：本题易忽略相似三角形性质的适用条件而致错．
9.【2021·宜宾叙州区期末】两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为( D )
A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm
【点拨】根据题意得两个三角形的周长的比为5∶3，设两个三角形的周长分别为5x cm，3x cm，
则5x－3x＝12，解得x＝6，
所以5x＝30，即大三角形的周长为30 cm.
10.如图，△OAB∽△OCD，OA∶OC＝3∶2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是( D )
A.eq \f(OB,CD)＝eq \f(3,2) B.eq \f(α,β)＝eq \f(3,2) C.eq \f(S1,S2)＝eq \f(3,2) D.eq \f(C1,C2)＝eq \f(3,2)
11.【2020·永州】如图，在△ABC中，EF∥BC，eq \f(AE,EB)＝eq \f(2,3)，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是( B )
A.eq \f(91,3) B．25 C．35 D．63

第11题图 第12题图 第13题图
12.【2020·海南】如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( A )
A．16 B．17 C．24 D．25
【点拨】在Rt△ABG中，AG＝eq \r(AB2－BG2)＝eq \r(102－82)＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝
∠DAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝10，则CE＝BC－BE＝15－10＝5.又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝12，
则△ABE的周长为32.∵AB∥DF，
∴△ABE∽△FCE.∴△ABE的周长：△CEF的周长＝BE：CE＝2：1.∴△CEF的周长为16.
13.如图,在矩形ABCD中,E是CD边的中点,且BE⊥AC于点F,连接DF,则下列结论错误的是( C )
A.△ADC∽△CFBB.AD=DF C.BCAC=12D.S△CEFS△ABF=14
二、填空题
14.(1)相似三角形的面积之比等于______________．
(2)相似三角形的周长之比等于________．
【答案】相似比的平方 相似比
15.【中考·抚顺】如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比eq \f(3,5)进行缩小，得到的直角三角形的面积是____________．
【点拨】原直角三角形的面积为eq \f(1,2)×5×10＝25，按相似比eq \f(3,5)进行缩小，则缩小后它们的面积之比为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,25)，∴缩小后的直角三角形的面积为9.
【答案】9
16.已知两个相似三角形的相似比为2∶5，其中较小的三角形的面积为4，那么另一个三角形的面积为__________．
【点拨】设另一个三角形的面积为x，由题意得eq \f(x,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))eq \s\up12(2)，解得x＝25.
【答案】25
17.两个相似三角形的最短边的长分别为5 cm和3 cm，它们的周长之和为48 cm，那么小三角形的周长为________ cm.
【点拨】根据题意得两个三角形的周长的比为5∶3，设两个三角形的周长分别为5x cm，3x cm，则5x＋3x＝48，解得x＝6，所以3x＝18，即小三角形的周长为18 cm.
【答案】18
18.已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560 cm，则它们的周长分别为__________________．
【点拨】设小三角形周长为C cm，则大三角形周长为(C＋560) cm，根据相似三角形的性质，得eq \f(C,C＋560)＝eq \f(3,10)，解得C＝240，经检验C＝240是原方程的解，∴C＋560＝800，即它们的周长分别为240 cm，800 cm.
【答案】240 cm，800 cm
19.【中考·包头】如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F， 3AE＝2EB，连接DF.若S△AEF＝1，则S△ADF的值为_______．

第19题图 第20题图
【答案】eq \f(5,2)
20.如图,M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1,△2,△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,则△ABC的面积是 .
【答案】144
【提示】如图,易得△DEM∽△MPQ∽△FMG∽△ABC,∴EM∶MG∶PQ=2∶3∶7,∴EM∶BC=2∶12=1∶6,∴S△ABC=36×4=144.
三、解答题
21.【2020·新疆改编】如图，在△ABC中，D是AB的中点，过点D分别作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，△DFE的面积为1，求△ABC的面积．
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∵D是AB的中点，∴AD＝eq \f(1,2)AB.
∴eq \f(S△ADE,S△ABC)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AD,AB)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4).
过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点G，则AG＝GH＝DF.
∴S△ADE＝S△DEF＝1，∴S△ABC＝4.
22.【2020·郑州外国语中学期末】某社区拟筹资金2 000元，计划在一块上、下底分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为20元/平方米的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．
解：资金不够用．
理由：由题意，得S△ADM＝500÷20＝25(平方米)．
∵AD∥BC，∴△ADM∽△CBM，
∴eq \f(S△ADM,S△CBM)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,20)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，
∴S△CBM＝4S△ADM＝4×25＝100(平方米)，
∴还需资金20×100＝2000(元)，
∴共需资金500＋2000＝2500(元)＞2000元，
∴资金不够用．
23.【2020·杭州】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC.
证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE.
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC.
∴△BDE∽△EFC.
(2)若eq \f(AF,FC)＝eq \f(1,2).
①当BC＝12时，求线段BE的长；
解：∵EF∥AB，
∴eq \f(BE,EC)＝eq \f(AF,FC)＝eq \f(1,2).
∵EC＝BC－BE＝12－BE，∴eq \f(BE,12－BE)＝eq \f(1,2)，解得BE＝4.
②当△EFC的面积是20时，求△ABC的面积．
解：∵eq \f(AF,FC)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(FC,AC)＝eq \f(2,3).
∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC.
∴eq \f(S△EFC,S△ABC)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(FC,AC)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,9).
∴S△ABC＝eq \f(9,4)S△EFC＝eq \f(9,4)×20＝45.
24.如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,且DE⊥BC,AD=AC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.
(1)求证:∠ECB=∠B;
(2)求证:△ABC∽△FCD;
(3)若△FCD的面积为7.5,BC=10,求DE的长.
解:(1)∵D是BC边上的中点,DE⊥BC,
∴CE=BE,∴∠ECB=∠B.
(2)∵AC=AD,∴∠CDF=∠BCA.
∵∠DCF=∠CBA,∴△ABC∽△FCD.
(3)过点A作AH⊥CB于点H.
∵D是BC的中点,∴BD=CD=12BC=5.
∵AC=AD,AH⊥CD,∴CH=DH=12CD=2.5.
∵△ABC∽△FCD,∴S△ABCS△FCD=BCCD2=4,
∴S△ABC=4S△FCD=30.
∵S△ABC=12BC·AH,∴AH=2S△ABCBC=6.
∵AH⊥CB,ED⊥CB,∴AH∥ED,∴DEAH=BDBH,
∴DE=AH·BDBH=6×55+2.5=4.
25.两个相似三角形的一组对应边的长分别是24 cm和12 cm.
(1)若它们的周长和是120 cm，则这两个三角形的周长分别是多少？
解：设这两个三角形的周长分别是x cm，y cm，
根据题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝120，,\f(x,y)＝\f(24,12)，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝80，,y＝40.))
答：这两个三角形的周长分别是80 cm，40 cm.
(2)若它们的面积差是420 cm2，则这两个三角形的面积分别是多少？
解：设这两个三角形的面积分别是S1 cm2，S2 cm2，
根据题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1－S2＝420，,\f(S1,S2)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,12)))\s\up12(2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1＝560，,S2＝140.))
答：这两个三角形的面积分别是560 cm2，140 cm2.
26.问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点(不与A，B重合)，DE∥BC，交AC于点E，连接CD.设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′.
(1)当AD＝3时，eq \f(S′,S)＝________；
【答案】eq \f(3,16)
(2)设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示eq \f(S′,S).

解：如图①，过点B作BH⊥AC于H，过点D作DF⊥AC于F，则DF∥BH，∴△ADF∽△ABH，
∴eq \f(DF,BH)＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(m,4).
∵DE∥BC，∴eq \f(CE,CA)＝eq \f(BD,BA)＝eq \f(4－m,4)，
∴eq \f(S△DEC,S△ABC)＝eq \f(\f(1,2)CE·DF,\f(1,2)CA·BH)＝eq \f(4－m,4)×eq \f(m,4)＝eq \f(－m2＋4m,16)，即eq \f(S′,S)＝eq \f(－m2＋4m,16).
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝eq \f(1,2)BC，E是AB上一点(不与A，B重合)，EF∥BC，交CD于点F，连接CE.设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示eq \f(S′,S).
解：如图②，分别延长BA，CD交于点O.
∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC,
∴eq \f(OA,OB)＝eq \f(AD,BC)＝eq \f(1,2)，
∴OA＝AB＝4，OB＝8.
∵AE＝n，∴BE＝4－n，OE＝4＋n.
∵EF∥BC，
∴由问题1的解法可知eq \f(S△CEF,S△OBC)＝eq \f(S△CEF,S△OEF)·eq \f(S△OEF,S△OBC)＝eq \f(4－n,4＋n)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4＋n,8)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16－n2,64).∵eq \f(S△OAD,S△OBC)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(OA,OB)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)， ∴eq \f(S四边形ABCD,S△OBC)＝eq \f(3,4)，
∴eq \f(S△CEF,S四边形ABCD)＝eq \f(S△CEF,\f(3,4)S△OBC)＝eq \f(4,3)×eq \f(16－n2,64)＝eq \f(16－n2,48)，即eq \f(S′,S)＝eq \f(16－n2,48).