湘教版九年级上册4.4 解直接三角形的应用当堂达标检测题

这是一份湘教版九年级上册4.4 解直接三角形的应用当堂达标检测题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向、北偏东40°方向驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，2小时后，两艘货船分别到达C，A处，则A，C之间的距离为( )
A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.如图，以学校(点C)为观测点，小明家(点B)和小丰家(点A)分别位于学校的正南方向和西南方向，并测得AC＝6eq \r(2)km，BC＝6(1＋eq \r(3))km，则小丰家位于小明家的( )
A．南偏西30°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏东45°方向 D．南偏东60°方向
3.如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6eq \r(3)千米，则A、B两点的距离为( )千米．
A．4 B．4eq \r(3) C．2 D．6
4.【2020·深圳】如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为( )
A．200tan 70°米 B.eq \f(200,tan 70°)米 C．200sin 70°米 D.eq \f(200,sin 70°)米
5.【2020·济宁】一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是( )
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
6.如图,小岛在港口P的北偏西60°方向,距港口56海里的A处,货船从港口P出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4小时后货船在小岛的正东方向,则货船的航行速度是( )
A.72 海里/小时B.73 海里/小时 C.76 海里/小时 D.282 海里/小时

第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7.如图，一艘船上午8时从某港口A出发向正北方向航行，从港口A处测得一礁石C在北偏西30°方向上，港口A到礁石C的距离为24eq \r(3)海里，这艘船上午10时到达小岛B，此时在小岛B处测得礁石C在北偏西60°方向上，则这艘船的航行速度是( )
A．24海里/时 B．18海里/时 C．12海里/时 D．10海里/时
8.如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为 ( )
A．10eq \r(3) 海里/小时 B．30海里/小时C 20eq \r(3)海里/小时 D．30eq \r(3)海里/小时
9.如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( )
A．4 km B．(2＋eq \r(2)) km C．2eq \r(2) km D．(4－eq \r(2)) km
10.如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里的位置．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行eq \f(2,3)小时到达B处，那么tan∠ABP的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2 \r(5),5)

第10题图 第11题图 第12题图 第13题图
11.【中考·苏州】如图，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( )
A．40海里 B．60海里 C．20eq \r(3)海里 D．40eq \r(3)海里
12.【2020·泰安二模】如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船从A处向正东方向行驶40海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离(即BC的长)为( )
A．40eq \r(3)海里 B．(20eq \r(3)＋20)海里 C．80海里 D．(20eq \r(3)＋20eq \r(2))海里
13.【中考·长沙】如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船与小岛A的距离是( )
A．30eq \r(3)n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30＋30eq \r(3)) n mile
14.【中考·泰安】如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30eq \r(2)km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为( )
A．(30＋30eq \r(3))km B．(30＋10eq \r(3))km C．(10＋30eq \r(3))km D．30eq \r(3)km

第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
二、填空题
15.【2020·铜仁改编】如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60 km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，此时船与灯塔C的距离是________km.
16.【中考·黄石】如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至离灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为________海里．(结果保留根号)
17.【中考·阜新】如图，一艘船以40 n mile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5 h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为____________n mile.(结果保留根号)
18.如图,一艘轮船向正东方向航行,上午9时测得它在灯塔P的南偏西30°方向,距离灯塔120海里的M处,上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处,则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是_________海里/小时.

第18题图 第20题图
19.王小勇操纵一辆遥控汽车从A处沿北偏西60°方向走10m到达B处,再从B处向正南方走20m到达C处,此时遥控汽车离A处 m.
20.如图，客轮在海上以30 km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是_________km.
三、解答题
21.【2020·永州】如图，一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行，已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．(参考数据：eq \r(3)≈1.73，eq \r(5)≈2.24，eq \r(7)≈2.65)
(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
(2)渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
22.【2020·徐州】小红和爸爸绕着小区广场锻炼，如图，在矩形广场ABCD的边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30 m，求小红与爸爸的距离PQ.(结果精确到1 m，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)
23.【2020·荆门】如图，海岛B在海岛A的北偏东30°方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
(1)求∠ABE的度数；
(2)求快艇的速度及C，E之间的距离．(参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，eq \r(3)≈1.73)
24.【2021·菏泽】某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？
25.【2021·遂宁】小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向， C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．
26.【中考·株洲】如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1，l2，l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝eq \r(3)km，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且csα＝eq \f(\r(13),13)，MN＝2eq \r(13)km，点A和点N是城际铁路线L上的两个相邻的站点．
(1)求l2和l3之间的距离；
(2)若城际火车平均速度为150 km/h，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时．(结果用分数表示)
参考答案
一、选择题
1.如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向、北偏东40°方向驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，2小时后，两艘货船分别到达C，A处，则A，C之间的距离为( )
A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
【点拨】如图，连接AC，由题意，得BA＝BC＝20×2＝40(海里)，∠CBA＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝40海里．
【答案】B
2.如图，以学校(点C)为观测点，小明家(点B)和小丰家(点A)分别位于学校的正南方向和西南方向，并测得AC＝6eq \r(2)km，BC＝6(1＋eq \r(3))km，则小丰家位于小明家的( )
A．南偏西30°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏东45°方向 D．南偏东60°方向
【点拨】如图，过A作AH⊥BC于H.
∵AC＝6eq \r(2)km，∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，
∴∠ACH＝∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝6 km.
∵BC＝6(1＋eq \r(3)) km，∴BH＝6eq \r(3)km，
∴tan B＝eq \f(AH,BH)＝eq \f(\r(3),3)∴∠ABH＝30°，
∴小丰家位于小明家的北偏西30°方向．
【答案】B
3.如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6eq \r(3)千米，则A、B两点的距离为( D )千米．
A．4 B．4eq \r(3) C．2 D．6
4.【2020·深圳】如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为( B )
A．200tan 70°米 B.eq \f(200,tan 70°)米 C．200sin 70°米 D.eq \f(200,sin 70°)米
5.【2020·济宁】一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是( C )
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
6.如图,小岛在港口P的北偏西60°方向,距港口56海里的A处,货船从港口P出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4小时后货船在小岛的正东方向,则货船的航行速度是( A )
A.72 海里/小时B.73 海里/小时 C.76 海里/小时 D.282 海里/小时

第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7.如图，一艘船上午8时从某港口A出发向正北方向航行，从港口A处测得一礁石C在北偏西30°方向上，港口A到礁石C的距离为24eq \r(3)海里，这艘船上午10时到达小岛B，此时在小岛B处测得礁石C在北偏西60°方向上，则这艘船的航行速度是( C )
A．24海里/时 B．18海里/时 C．12海里/时 D．10海里/时
8.如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为 ( D )
A．10eq \r(3) 海里/小时 B．30海里/小时C 20eq \r(3)海里/小时 D．30eq \r(3)海里/小时
9.如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( B )
A．4 km B．(2＋eq \r(2)) kmC．2eq \r(2) km D．(4－eq \r(2)) km
10.如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里的位置．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行eq \f(2,3)小时到达B处，那么tan∠ABP的值为( A )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2 \r(5),5)
【点拨】在△PAB中，∠APB＝60°＋30°＝90°，PA＝20海里，PB＝60×eq \f(2,3)＝40(海里)，故tan∠ABP＝eq \f(PA,PB)＝eq \f(20,40)＝eq \f(1,2).

第10题图 第11题图 第12题图 第13题图
11.【中考·苏州】如图，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( D )
A．40海里 B．60海里 C．20eq \r(3)海里 D．40eq \r(3)海里
【点拨】在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB.
由题意知BC＝2AB，∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB.易知∠ABP＝60°，
又∵∠ABP＝∠C＋∠CPB，∴∠C＝30°，∴PC＝2PA.
在Rt△APB中，tan∠ABP＝eq \f(PA,AB)，
∴PA＝AB·tan 60°＝20×eq \r(3)＝20eq \r(3)(海里)，
∴PC＝2×20eq \r(3)＝40eq \r(3)(海里)．
12.【2020·泰安二模】如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船从A处向正东方向行驶40海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离(即BC的长)为( B )
A．40eq \r(3)海里 B．(20eq \r(3)＋20)海里 C．80海里 D．(20eq \r(3)＋20eq \r(2))海里
【点拨】如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝40海里，
∴AD＝eq \f(1,2)AB＝20海里， BD＝eq \f(\r(3),2)AB＝20eq \r(3)海里，
在Rt△ACD中，易知∠C＝45°，
∴CD＝AD＝20海里，
∴BC＝BD＋CD＝(20eq \r(3)＋20)海里，故选B．
13.【中考·长沙】如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船与小岛A的距离是( )
A．30eq \r(3)n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30＋30eq \r(3)) n mile
【点拨】如图，过C作CD⊥AB于点D，易知∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60 n mile.
在Rt△ACD中，AD＝AC·sin ∠ACD＝60× ＝30(n mile)，
CD＝AC·cs ∠ACD＝60×eq \f(\r(3),2)＝30eq \r(3) (n mile)．
在Rt△DCB中，∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴BD＝CD＝30eq \r(3)n mile，
∴AB＝AD＋BD＝(30＋30eq \r(3))n mile.
∴这时轮船与小岛A的距离是(30＋30eq \r(3))n mile.
【答案】D
14.【中考·泰安】如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30eq \r(2)km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为( )
A．(30＋30eq \r(3))km B．(30＋10eq \r(3))km C．(10＋30eq \r(3))km D．30eq \r(3)km

第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
【点拨】根据题意，得∠CAB＝65°－20°＝45°，∠ACB＝40°＋20°＝60°.如图，过B作BE⊥AC于E，则∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，
∵∠BAE＝45°，AB＝30eq \r(2)km，∴AE＝BE＝eq \f(\r(2),2)AB＝30 km.
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝eq \f(BE,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)BE＝10eq \r(3)km，
∴AC＝AE＋CE＝(30＋10eq \r(3))km，
∴A，C两港之间的距离为(30＋10eq \r(3))km.
【答案】B
二、填空题
15.【2020·铜仁改编】如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60 km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，此时船与灯塔C的距离是________km.
【答案】60
16.【中考·黄石】如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至离灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为________海里．(结果保留根号)
【点拨】由题意，得MN＝15×2＝30(海里)，
∠PMN＝30°，∠PNT＝60°，
∴∠MPN＝∠PMN＝30°，
∴PN＝MN＝30海里，
∴PT＝PN·sin ∠PNT＝15eq \r(3)海里．
【答案】15eq \r(3)
17.【中考·阜新】如图，一艘船以40 n mile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5 h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为____________n mile.(结果保留根号)
【点拨】根据题意，得∠PAB＝60°，
∠PBA＝30°，AB＝2.5×40＝100(n mile)，
∴∠P＝180°－∠PAB－∠PBA＝180°－60°－30°＝90°.
在Rt△PAB中，PB＝AB·sin ∠PAB＝100×eq \f(\r(3),2)＝50eq \r(3) (n mile)．
【答案】50eq \r(3)
18.如图,一艘轮船向正东方向航行,上午9时测得它在灯塔P的南偏西30°方向,距离灯塔120海里的M处,上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处,则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是_________海里/小时.
【答案】30

第18题图 第20题图
19.王小勇操纵一辆遥控汽车从A处沿北偏西60°方向走10m到达B处,再从B处向正南方走20m到达C处,此时遥控汽车离A处 m.
【答案】10eq \r(3)
20.如图，客轮在海上以30 km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是_________km.
【答案】5(eq \r(6)＋3eq \r(2))
三、解答题
21.【2020·永州】如图，一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行，已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．(参考数据：eq \r(3)≈1.73，eq \r(5)≈2.24，eq \r(7)≈2.65)
(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
解：如图，过A点作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°.
由题意可得∠B＝60°，
∴在Rt△ABD中，
AD＝AB·sin 60°＝60×eq \f(\r(3),2)＝30eq \r(3)≈51.9(海里)，
∵51.9>50，
∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险．
(2)渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
解：在Rt△ABD中，BD＝AB·cs 60°＝30(海里)．
由题意知BC＝3×30＝90(海里)，
∴DC＝90－30＝60(海里)．
∴在Rt△ADC中，
AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(（30 \r(3)）2＋602)＝30eq \r(7)≈79.5(海里)．
即A，C之间的距离约为79.5海里．
22.【2020·徐州】小红和爸爸绕着小区广场锻炼，如图，在矩形广场ABCD的边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30 m，求小红与爸爸的距离PQ.(结果精确到1 m，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)
解：作PN⊥BC于点N，如图，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°．
∴四边形ABNP是矩形，∴PN＝AB．
∵∠APM＝45°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AM＝eq \f(\r(2),2)PM＝eq \f(\r(2),2)×30＝15eq \r(2)(m)．
∵M是AB的中点，
∴PN＝AB＝2AM＝30eq \r(2) m．
在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°－∠DPQ＝90°－60°＝30°，
∴NQ＝eq \f(\r(3),3)PN＝10eq \r(6) m，
∴PQ＝2NQ＝20eq \r(6)≈49(m)．
答：小红与爸爸的距离PQ约为49 m．
23.【2020·荆门】如图，海岛B在海岛A的北偏东30°方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰
好到达快艇正北方向的E处．
(1)求∠ABE的度数；
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D．
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°．
∵AN∥BD，∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
而∠DBE＝180°－∠GBE＝180°－75°＝105°，
∴∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝30°
＋105°＝135°．
(2)求快艇的速度及C，E之间的距离．(参考数据：sin 15°≈0.26，cs 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，eq \r(3)≈1.73)
解：如图，过点B作BF⊥CE于点F．
由题知，BE＝5×2＝10(海里)，
在Rt△BEF中，∠EBF＝90°－75°＝15°，
∴EF＝BE·sin15°≈10×0.26＝2．6(海里)，
BF＝BE·cs15°≈10×0．97＝9．7(海里)．
在Rt△ABD中，AB＝20海里，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB·sin30°＝20×eq \f(1,2)＝10(海里)，BD＝AB·cs30°＝20×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3)≈10×1．73＝17．3(海里)．
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠BFC＝∠DCF＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF≈9.7海里，FC＝BD≈17.3海里，
∴AC＝AD＋DC≈10＋9.7＝19.7(海里)，
CE＝EF＋CF≈2.6＋17.3＝19.9(海里)，
设快艇的速度为v海里/时，则v≈eq \f(19.7,2)＝9.85(海里/时)．
答：快艇的速度约为9.85海里/时，C，E之间的距离约为19.9海里．
24.【2021·菏泽】某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？
【解答】解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．
由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD－∠CBD＝60°－30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200（海里）．
在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝200×eq \f(\r(3),2)＝100eq \r(3)（海里）．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200eq \r(3)（海里）．
故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200eq \r(3)海里．
25.【2021·遂宁】小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向， C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．
方法一：
解：（1）由题得：BE∥AD
∵BE∥AD且∠1=60°
∴∠2=∠1=60°
∵∠2=∠C+∠CAD且∠CAD=30°
∴∠C=∠2－∠CAD=30°
过点B作BG⊥AD于G.
∵BG⊥AD ∴∠AGB=∠BGD=90°
在Rt△AGB中，AB=20米，∠BAG=45°
AG=BG=20×sin45°=100eq \r(2)米
在Rt△BGD中，∠2=60°
∵∠C=∠CAD=30°
∴CD=AD=AG+DG=()米
∴BC=BD+CD=(10eq \r(2)＋10eq \r(6))米
答：两颗银杏树B、C之间的距离为 (10eq \r(2)＋10eq \r(6))米
方法二：
解：（1）由题得：AD∥BE，∠1=60°，∠BAC=45°+30°=75°
∵AD∥BE且∠BAD=45°
∴∠3=∠BAD=45°
∵∠1=60°
∴∠ABC=180°－60°－45°＝75°
∵∠BAC=75°
∴∠C=180°－75°－75°＝30°
（2）延长EB,CA交于点F,过点A作AH⊥BF于点H.
∵AH⊥BF
∴∠AHB=∠AHF=90°
在Rt△AHB中,AB=20米，∠3=45°
∴AH=BH=20×sin45°=10eq \r(2)米
∵∠1=60°且∠C=30°
∴∠F=60°－30=30°
在Rt△AHF中,AH=10eq \r(2)米，∠F=30°
∵∠C=∠F=30°
∴BC=BF=BH+FH=(10eq \r(2)＋10eq \r(6))米
答：两颗银杏树B、C之间的距离为(10eq \r(2)＋10eq \r(6))米
26.【中考·株洲】如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1，l2，l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝eq \r(3)km，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且csα＝eq \f(\r(13),13)，MN＝2eq \r(13)km，点A和点N是城际铁路线L上的两个相邻的站点．
(1)求l2和l3之间的距离；
解：过点M作MD⊥NC于点D，
∵cs α＝eq \f(\r(13),13)，MN＝2eq \r(13)km，
∴cs α＝eq \f(DM,MN)＝eq \f(DM,2 \r(13))＝eq \f(\r(13),13)，
解得DM＝2 km.
∴l2和l3之间的距离为2 km.
(2)若城际火车平均速度为150 km/h，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时．(结果用分数表示)
解：∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝eq \r(3)km，
∴tan 30°＝eq \f(BM,AB)＝eq \f(\r(3),AB)＝eq \f(\r(3),3)，
∴AB＝3 km，∴AC＝3＋2＝5 (km)．
∵MN＝2eq \r(13)km，DM＝2 km，
∴DN＝eq \r(（2 \r(13)）2－22)＝4eq \r(3)(km)．
易知CD＝BM，
∴NC＝DN＋BM＝5eq \r(3)km，
∴AN＝eq \r(CN2＋AC2)＝eq \r(（5 \r(3)）2＋52)＝10 (km)．
∵城际火车平均速度为150 km/h，
∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要10÷150＝eq \f(1,15)(h)．