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初中数学湘教版九年级上册第3章 图形的相似综合与测试课时训练
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这是一份初中数学湘教版九年级上册第3章 图形的相似综合与测试课时训练，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.下列各组长度的线段中，是成比例线段的是( )
A．2，6，5，9 B．1，3，6，4 C．1，2，3，4 D．3，2，6，1
2.在比例尺为1∶8 000 000的地图上，量得甲、乙两地间的距离为4厘米，则甲、乙两地的实际距离为( )
A．320千米 B．32千米 C．3 200千米 D．320 000千米
3.已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则下列结论正确的是( )
A．AB2＝AC·BC B．BC2＝AC·AB C．AC＝eq \f(\r(5)－1,2)BC D．BC＝eq \f(3－\r(5),2)AB
4.下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到的；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如果△ABC和△DEF相似，A，B分别对应D，E，且AB∶DE＝1∶2，那么下列等式一定成立的是( )
A.eq \f(BC,DE)＝eq \f(1,2) B.eq \f(S△ABC,S△DEF)＝eq \f(1,2) C.eq \f(∠A,∠D)＝eq \f(1,2) D.eq \f(△ABC的周长,△DEF的周长)＝eq \f(1,2)
6.△ABC和△DEF符合下列条件，其中使△ABC和△DEF不相似的是( )
A．∠A＝∠D＝90°，BC＝8，AB＝6，EF＝12，DE＝9
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝4，DF＝2，EF＝3
C．∠A＝∠E，AB＝2，AC＝2.4，DE＝3.6，EF＝3
D．AB＝3，AC＝5，BC＝7，DE＝eq \r(3)， DF＝eq \r(5)， EF＝eq \r(7)
7.如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使OC＝eq \f(1,3)FO，连接AB，AC，BC，则在△ABC中，S△ABO：S△AOC：S△BOC等于( )
A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2
8.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为eq \f(\r(2),2)，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是( )
A．(－1.4，－1.4) B．(1.4，1.4) C．(－eq \r(2)，－eq \r(2)) D．(eq \r(2)，eq \r(2))
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图
9.【2020·河北】在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( )
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
10.【2021·宁波期末】如图，已知D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
11.如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是( )
A.eq \f(AE,EC)＝eq \f(EF,CD) B.eq \f(EG,AB)＝eq \f(EF,CD) C.eq \f(AF,FD)＝eq \f(BG,GC) D.eq \f(CG,BC)＝eq \f(AF,AD)
12.【中考·通辽】如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，交AC于点F，∠BCD＝60°，AD＝eq \f(1,2)AB，连结OE.下列结论：①S▱ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第12题图 第15题图 第17题图 第18题图
二、填空题
13.已知eq \f(x,y)＝eq \f(2,3)，则3x＝________，eq \f(y,x)＝________，eq \f(x＋y,y)＝________，eq \f(x,x＋y)＝________．
14.乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若设支撑点C到端点A的距离为x cm，则得到关于x的一元二次方程的一般形式是____________________，x≈________cm.(eq \r(5)≈2.236，结果精确到0.1 cm)
15.【2019·河池】如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则eq \f(AB,CD)＝________．
16.有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两条边的实际长度都是________m.
17.如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F，eq \f(AF,AD)＝eq \f(1,4)，则eq \f(AE,AC)＝________．
18.如图，△ABC是一块正三角形余料，边长为120 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在边BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是_____________mm.
三、解答题
19.【中考·陕西】如图，在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM.请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM.(不写作法，保留作图痕迹，说明理由)
20.如图，在△ABP中，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝3，CD＝6，DB＝12.求证：△ACP∽△PDB.
21.【中考·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.
(1)求证：△PAB∽△PBC；
(2)求证：PA＝2PC.
22.【中考·邵阳】如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
23.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.
(1)求出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？
24.【2021·昆明十中校级月考】如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
参考答案
一、选择题
1.下列各组长度的线段中，是成比例线段的是( D )
A．2，6，5，9 B．1，3，6，4 C．1，2，3，4 D．3，2，6，1
2.在比例尺为1∶8 000 000的地图上，量得甲、乙两地间的距离为4厘米，则甲、乙两地的实际距离为( A )
A．320千米 B．32千米 C．3 200千米 D．320 000千米
3.已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则下列结论正确的是( D )
A．AB2＝AC·BC B．BC2＝AC·AB C．AC＝eq \f(\r(5)－1,2)BC D．BC＝eq \f(3－\r(5),2)AB
4.下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到的；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如果△ABC和△DEF相似，A，B分别对应D，E，且AB∶DE＝1∶2，那么下列等式一定成立的是( D )
A.eq \f(BC,DE)＝eq \f(1,2) B.eq \f(S△ABC,S△DEF)＝eq \f(1,2) C.eq \f(∠A,∠D)＝eq \f(1,2) D.eq \f(△ABC的周长,△DEF的周长)＝eq \f(1,2)
6.△ABC和△DEF符合下列条件，其中使△ABC和△DEF不相似的是( D )
A．∠A＝∠D＝90°，BC＝8，AB＝6，EF＝12，DE＝9
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝4，DF＝2，EF＝3
C．∠A＝∠E，AB＝2，AC＝2.4，DE＝3.6，EF＝3
D．AB＝3，AC＝5，BC＝7，DE＝eq \r(3)， DF＝eq \r(5)， EF＝eq \r(7)
7.如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使OC＝eq \f(1,3)FO，连接AB，AC，BC，则在△ABC中，S△ABO：S△AOC：S△BOC等于( B )
A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2
【点拨】设AB与OF相交于点M，
∵AF∥OB，
∴△FAM∽△OBM，
∴eq \f(OM,FM) ＝eq \f(BM,AM) ＝eq \f(BO,AF) ＝eq \f(1,2)．
设S△BOM＝S，则S△AOM＝2S，
∵OC＝eq \f(1,3)FO，OM＝eq \f(1,2)FM，
∴OM＝OC．
∴S△AOC＝S△AOM＝2S，
S△BOC＝S△BOM＝S．
∴S△ABO：S△AOC：S△BOC＝3：2：1．
8.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为eq \f(\r(2),2)，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是( )
A．(－1.4，－1.4) B．(1.4，1.4) C．(－eq \r(2)，－eq \r(2)) D．(eq \r(2)，eq \r(2))
【点拨】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为eq \f(\r(2),2)，∴OA∶OD＝1∶eq \r(2).
∵点A的坐标为(0，1)，即OA＝1，∴OD＝eq \r(2).
∵四边形ODEF是正方形，∴DE＝OD＝eq \r(2).
∴点E的坐标为(eq \r(2)，eq \r(2))．
【答案】D
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图
9.【2020·河北】在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( A )
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
10.【2021·宁波期末】如图，已知D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为( D )
A．3 B．4 C．5 D．6
11.如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是( C )
A.eq \f(AE,EC)＝eq \f(EF,CD) B.eq \f(EG,AB)＝eq \f(EF,CD) C.eq \f(AF,FD)＝eq \f(BG,GC) D.eq \f(CG,BC)＝eq \f(AF,AD)
12.【中考·通辽】如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，交AC于点F，∠BCD＝60°，AD＝eq \f(1,2)AB，连结OE.下列结论：①S▱ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正确的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】∵在▱ABCD中，∠BCD＝60°，∴∠ADC＝120°，∠BAD＝60°.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE＝DE.
∵AD＝eq \f(1,2)AB，∴AE＝eq \f(1,2)AB＝BE，∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠DBE，∴∠BDE＝eq \f(1,2)∠AED＝30°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD＝AD·BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，∴∠CDB＝∠BDE＝30°，
∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵在Rt△AOD中，AO＞AD，∴AO＞DE，故③错误；
∵O是BD的中点，E是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AD，OE＝eq \f(1,2)AD，
∴∠DAF＝∠FOE，∠ADF＝∠OEF，
∴△OEF∽△ADF，
∴S△ADF＝4S△OEF，且AF＝2OF，
∴S△AEF＝2S△OEF，
∴S△ADE＝6S△OFE，故④错误．故选B.
第12题图 第15题图 第17题图 第18题图
二、填空题
13.已知eq \f(x,y)＝eq \f(2,3)，则3x＝________，eq \f(y,x)＝________，eq \f(x＋y,y)＝________，eq \f(x,x＋y)＝________．
【答案】2y；eq \f(3,2)；eq \f(5,3)；eq \f(2,5)
14.乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若设支撑点C到端点A的距离为x cm，则得到关于x的一元二次方程的一般形式是____________________，x≈________cm.(eq \r(5)≈2.236，结果精确到0.1 cm)
【答案】x2＋80x－6 400＝0 49.4
15.【2019·河池】如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则eq \f(AB,CD)＝________．
【答案】eq \f(2,5)
16.有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两条边的实际长度都是________m.
【答案】20
17.如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F，eq \f(AF,AD)＝eq \f(1,4)，则eq \f(AE,AC)＝________．
【答案】eq \f(1,7)
【点拨】如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G.∴eq \f(AE,AG)＝eq \f(AF,AD)＝eq \f(1,4).
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，
∴eq \f(CG,EG)＝eq \f(CD,BD)＝1，∴eq \f(AE,AC)＝eq \f(1,7).
18.如图，△ABC是一块正三角形余料，边长为120 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在边BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是_____________mm.
【点拨】如图，作△ABC的
高AD，交PN于点E.
∵△ABC为正三角形，∴BD＝eq \f(1,2)BC＝60 mm，
由勾股定理得AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(1202－602)＝60eq \r(3)(mm)．
设正方形的边长为x mm，则PN＝PQ＝ED＝x mm，
∴AE＝AD－ED＝(60eq \r(3)－x)mm.
∵PN∥BC，AD⊥BC，∴AE⊥PN，△APN∽△ABC.
∴eq \f(PN,BC)＝eq \f(AE,AD).即eq \f(x,120)＝eq \f(60\r(3)－x,60\r(3))，解得x＝240eq \r(3)－360.
∴加工成的正方形零件的边长是(240eq \r(3)－360)mm.
【答案】(240eq \r(3)－360)
三、解答题
19.【中考·陕西】如图，在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM.请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM.(不写作法，保留作图痕迹，说明理由)
解：如图所示，点P即为所求．
理由：∵DP⊥AM，∴∠APD＝∠ABM＝90°.
∵∠BAM＋∠PAD＝90°，
∠PAD＋∠ADP＝90°，
∴∠BAM＝∠ADP，∴△DPA∽△ABM.
20.如图，在△ABP中，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝3，CD＝6，DB＝12.求证：△ACP∽△PDB.
证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝6，
∴∠PCA＝∠PDB＝120°.
∵AC＝3，BD＝12，
∴eq \f(AC,PC)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，eq \f(PD,BD)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).
∴eq \f(AC,PC)＝eq \f(PD,BD)，∴△ACP∽△PDB.
21.【中考·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.
(1)求证：△PAB∽△PBC；
证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC.
又∵∠APB＝135°，∴∠PAB＋∠PBA＝45°，
∴∠PAB＝∠PBC.
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC.
(2)求证：PA＝2PC.
证明：∵△PAB∽△PBC，
∴PA∶PB＝PB∶PC＝AB∶BC.
在Rt△ABC中，AC＝BC，∴AB∶BC＝eq \r(2)，
∴PB＝eq \r(2)PC，PA＝eq \r(2)PB，
∴PA＝2PC.
22.【中考·邵阳】如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
解：由题意可得△DEF∽△DCA，
∴DE∶DC＝EF∶AC.
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DC＝20米，
∴AC＝eq \f(DC·EF,DE)＝10(米)，
∵BC＝DG＝1.5米，
∴AB＝AC＋BC＝10＋1.5＝11.5(米)．
答：旗杆的高度为11.5米．
23.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.
(1)求出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
解：∵DE∥BC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC).
∴eq \f(8－2x,8)＝eq \f(y,6).
∴y＝－eq \f(3,2)x＋6(0≤x≤4)．
(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？
解：∵S△BDE＝eq \f(1,2)·BD·AE＝eq \f(1,2)·2x·y＝eq \f(1,2)·2x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6－\f(3,2)x))＝－eq \f(3,2)(x－2)2＋6，且－eq \f(3,2)(x－2)2≤0，∴－eq \f(3,2)(x－2)2＋6≤6，∴当x＝2时，S△BDE有最大值，最大值为6.
24.【2021·昆明十中校级月考】如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
证明：如图，∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1.
又∵AD＝AC，∴∠ACB＝∠2.
∴△ABC∽△FCD.
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
解：如图，过点A作AM⊥CB于点M.
∵D是BC边上的中点，
∴BC＝2CD.
由(1)知△ABC∽△FCD，
∴eq \f(S△ABC,S△FCD)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BC,CD)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,1).
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.
∵S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AM，∴AM＝eq \f(2S△ABC,BC)＝eq \f(2×20,10)＝4.
∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴∠EDB＝∠AMB＝90°.
又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BMA.∴eq \f(DE,AM)＝eq \f(BD,BM).
由AD＝AC，AM⊥BC，知DM＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,4)BC＝eq \f(5,2).
又∵BD＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×10＝5，∴eq \f(DE,4)＝eq \f(5,5＋\f(5,2)).∴DE＝eq \f(8,3).
一、选择题
1.下列各组长度的线段中，是成比例线段的是( )
A．2，6，5，9 B．1，3，6，4 C．1，2，3，4 D．3，2，6，1
2.在比例尺为1∶8 000 000的地图上，量得甲、乙两地间的距离为4厘米，则甲、乙两地的实际距离为( )
A．320千米 B．32千米 C．3 200千米 D．320 000千米
3.已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则下列结论正确的是( )
A．AB2＝AC·BC B．BC2＝AC·AB C．AC＝eq \f(\r(5)－1,2)BC D．BC＝eq \f(3－\r(5),2)AB
4.下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到的；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如果△ABC和△DEF相似，A，B分别对应D，E，且AB∶DE＝1∶2，那么下列等式一定成立的是( )
A.eq \f(BC,DE)＝eq \f(1,2) B.eq \f(S△ABC,S△DEF)＝eq \f(1,2) C.eq \f(∠A,∠D)＝eq \f(1,2) D.eq \f(△ABC的周长,△DEF的周长)＝eq \f(1,2)
6.△ABC和△DEF符合下列条件，其中使△ABC和△DEF不相似的是( )
A．∠A＝∠D＝90°，BC＝8，AB＝6，EF＝12，DE＝9
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝4，DF＝2，EF＝3
C．∠A＝∠E，AB＝2，AC＝2.4，DE＝3.6，EF＝3
D．AB＝3，AC＝5，BC＝7，DE＝eq \r(3)， DF＝eq \r(5)， EF＝eq \r(7)
7.如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使OC＝eq \f(1,3)FO，连接AB，AC，BC，则在△ABC中，S△ABO：S△AOC：S△BOC等于( )
A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2
8.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为eq \f(\r(2),2)，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是( )
A．(－1.4，－1.4) B．(1.4，1.4) C．(－eq \r(2)，－eq \r(2)) D．(eq \r(2)，eq \r(2))
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图
9.【2020·河北】在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( )
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
10.【2021·宁波期末】如图，已知D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
11.如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是( )
A.eq \f(AE,EC)＝eq \f(EF,CD) B.eq \f(EG,AB)＝eq \f(EF,CD) C.eq \f(AF,FD)＝eq \f(BG,GC) D.eq \f(CG,BC)＝eq \f(AF,AD)
12.【中考·通辽】如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，交AC于点F，∠BCD＝60°，AD＝eq \f(1,2)AB，连结OE.下列结论：①S▱ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第12题图 第15题图 第17题图 第18题图
二、填空题
13.已知eq \f(x,y)＝eq \f(2,3)，则3x＝________，eq \f(y,x)＝________，eq \f(x＋y,y)＝________，eq \f(x,x＋y)＝________．
14.乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若设支撑点C到端点A的距离为x cm，则得到关于x的一元二次方程的一般形式是____________________，x≈________cm.(eq \r(5)≈2.236，结果精确到0.1 cm)
15.【2019·河池】如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则eq \f(AB,CD)＝________．
16.有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两条边的实际长度都是________m.
17.如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F，eq \f(AF,AD)＝eq \f(1,4)，则eq \f(AE,AC)＝________．
18.如图，△ABC是一块正三角形余料，边长为120 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在边BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是_____________mm.
三、解答题
19.【中考·陕西】如图，在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM.请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM.(不写作法，保留作图痕迹，说明理由)
20.如图，在△ABP中，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝3，CD＝6，DB＝12.求证：△ACP∽△PDB.
21.【中考·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.
(1)求证：△PAB∽△PBC；
(2)求证：PA＝2PC.
22.【中考·邵阳】如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
23.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.
(1)求出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？
24.【2021·昆明十中校级月考】如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
参考答案
一、选择题
1.下列各组长度的线段中，是成比例线段的是( D )
A．2，6，5，9 B．1，3，6，4 C．1，2，3，4 D．3，2，6，1
2.在比例尺为1∶8 000 000的地图上，量得甲、乙两地间的距离为4厘米，则甲、乙两地的实际距离为( A )
A．320千米 B．32千米 C．3 200千米 D．320 000千米
3.已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则下列结论正确的是( D )
A．AB2＝AC·BC B．BC2＝AC·AB C．AC＝eq \f(\r(5)－1,2)BC D．BC＝eq \f(3－\r(5),2)AB
4.下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到的；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如果△ABC和△DEF相似，A，B分别对应D，E，且AB∶DE＝1∶2，那么下列等式一定成立的是( D )
A.eq \f(BC,DE)＝eq \f(1,2) B.eq \f(S△ABC,S△DEF)＝eq \f(1,2) C.eq \f(∠A,∠D)＝eq \f(1,2) D.eq \f(△ABC的周长,△DEF的周长)＝eq \f(1,2)
6.△ABC和△DEF符合下列条件，其中使△ABC和△DEF不相似的是( D )
A．∠A＝∠D＝90°，BC＝8，AB＝6，EF＝12，DE＝9
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝4，DF＝2，EF＝3
C．∠A＝∠E，AB＝2，AC＝2.4，DE＝3.6，EF＝3
D．AB＝3，AC＝5，BC＝7，DE＝eq \r(3)， DF＝eq \r(5)， EF＝eq \r(7)
7.如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使OC＝eq \f(1,3)FO，连接AB，AC，BC，则在△ABC中，S△ABO：S△AOC：S△BOC等于( B )
A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2
【点拨】设AB与OF相交于点M，
∵AF∥OB，
∴△FAM∽△OBM，
∴eq \f(OM,FM) ＝eq \f(BM,AM) ＝eq \f(BO,AF) ＝eq \f(1,2)．
设S△BOM＝S，则S△AOM＝2S，
∵OC＝eq \f(1,3)FO，OM＝eq \f(1,2)FM，
∴OM＝OC．
∴S△AOC＝S△AOM＝2S，
S△BOC＝S△BOM＝S．
∴S△ABO：S△AOC：S△BOC＝3：2：1．
8.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为eq \f(\r(2),2)，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是( )
A．(－1.4，－1.4) B．(1.4，1.4) C．(－eq \r(2)，－eq \r(2)) D．(eq \r(2)，eq \r(2))
【点拨】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为eq \f(\r(2),2)，∴OA∶OD＝1∶eq \r(2).
∵点A的坐标为(0，1)，即OA＝1，∴OD＝eq \r(2).
∵四边形ODEF是正方形，∴DE＝OD＝eq \r(2).
∴点E的坐标为(eq \r(2)，eq \r(2))．
【答案】D
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图
9.【2020·河北】在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( A )
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
10.【2021·宁波期末】如图，已知D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为( D )
A．3 B．4 C．5 D．6
11.如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是( C )
A.eq \f(AE,EC)＝eq \f(EF,CD) B.eq \f(EG,AB)＝eq \f(EF,CD) C.eq \f(AF,FD)＝eq \f(BG,GC) D.eq \f(CG,BC)＝eq \f(AF,AD)
12.【中考·通辽】如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，交AC于点F，∠BCD＝60°，AD＝eq \f(1,2)AB，连结OE.下列结论：①S▱ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正确的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】∵在▱ABCD中，∠BCD＝60°，∴∠ADC＝120°，∠BAD＝60°.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE＝DE.
∵AD＝eq \f(1,2)AB，∴AE＝eq \f(1,2)AB＝BE，∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠DBE，∴∠BDE＝eq \f(1,2)∠AED＝30°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD＝AD·BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，∴∠CDB＝∠BDE＝30°，
∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵在Rt△AOD中，AO＞AD，∴AO＞DE，故③错误；
∵O是BD的中点，E是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AD，OE＝eq \f(1,2)AD，
∴∠DAF＝∠FOE，∠ADF＝∠OEF，
∴△OEF∽△ADF，
∴S△ADF＝4S△OEF，且AF＝2OF，
∴S△AEF＝2S△OEF，
∴S△ADE＝6S△OFE，故④错误．故选B.
第12题图 第15题图 第17题图 第18题图
二、填空题
13.已知eq \f(x,y)＝eq \f(2,3)，则3x＝________，eq \f(y,x)＝________，eq \f(x＋y,y)＝________，eq \f(x,x＋y)＝________．
【答案】2y；eq \f(3,2)；eq \f(5,3)；eq \f(2,5)
14.乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若设支撑点C到端点A的距离为x cm，则得到关于x的一元二次方程的一般形式是____________________，x≈________cm.(eq \r(5)≈2.236，结果精确到0.1 cm)
【答案】x2＋80x－6 400＝0 49.4
15.【2019·河池】如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则eq \f(AB,CD)＝________．
【答案】eq \f(2,5)
16.有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两条边的实际长度都是________m.
【答案】20
17.如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F，eq \f(AF,AD)＝eq \f(1,4)，则eq \f(AE,AC)＝________．
【答案】eq \f(1,7)
【点拨】如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G.∴eq \f(AE,AG)＝eq \f(AF,AD)＝eq \f(1,4).
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，
∴eq \f(CG,EG)＝eq \f(CD,BD)＝1，∴eq \f(AE,AC)＝eq \f(1,7).
18.如图，△ABC是一块正三角形余料，边长为120 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在边BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是_____________mm.
【点拨】如图，作△ABC的
高AD，交PN于点E.
∵△ABC为正三角形，∴BD＝eq \f(1,2)BC＝60 mm，
由勾股定理得AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(1202－602)＝60eq \r(3)(mm)．
设正方形的边长为x mm，则PN＝PQ＝ED＝x mm，
∴AE＝AD－ED＝(60eq \r(3)－x)mm.
∵PN∥BC，AD⊥BC，∴AE⊥PN，△APN∽△ABC.
∴eq \f(PN,BC)＝eq \f(AE,AD).即eq \f(x,120)＝eq \f(60\r(3)－x,60\r(3))，解得x＝240eq \r(3)－360.
∴加工成的正方形零件的边长是(240eq \r(3)－360)mm.
【答案】(240eq \r(3)－360)
三、解答题
19.【中考·陕西】如图，在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM.请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM.(不写作法，保留作图痕迹，说明理由)
解：如图所示，点P即为所求．
理由：∵DP⊥AM，∴∠APD＝∠ABM＝90°.
∵∠BAM＋∠PAD＝90°，
∠PAD＋∠ADP＝90°，
∴∠BAM＝∠ADP，∴△DPA∽△ABM.
20.如图，在△ABP中，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝3，CD＝6，DB＝12.求证：△ACP∽△PDB.
证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝6，
∴∠PCA＝∠PDB＝120°.
∵AC＝3，BD＝12，
∴eq \f(AC,PC)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，eq \f(PD,BD)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).
∴eq \f(AC,PC)＝eq \f(PD,BD)，∴△ACP∽△PDB.
21.【中考·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.
(1)求证：△PAB∽△PBC；
证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC.
又∵∠APB＝135°，∴∠PAB＋∠PBA＝45°，
∴∠PAB＝∠PBC.
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC.
(2)求证：PA＝2PC.
证明：∵△PAB∽△PBC，
∴PA∶PB＝PB∶PC＝AB∶BC.
在Rt△ABC中，AC＝BC，∴AB∶BC＝eq \r(2)，
∴PB＝eq \r(2)PC，PA＝eq \r(2)PB，
∴PA＝2PC.
22.【中考·邵阳】如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
解：由题意可得△DEF∽△DCA，
∴DE∶DC＝EF∶AC.
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DC＝20米，
∴AC＝eq \f(DC·EF,DE)＝10(米)，
∵BC＝DG＝1.5米，
∴AB＝AC＋BC＝10＋1.5＝11.5(米)．
答：旗杆的高度为11.5米．
23.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.
(1)求出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
解：∵DE∥BC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC).
∴eq \f(8－2x,8)＝eq \f(y,6).
∴y＝－eq \f(3,2)x＋6(0≤x≤4)．
(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？
解：∵S△BDE＝eq \f(1,2)·BD·AE＝eq \f(1,2)·2x·y＝eq \f(1,2)·2x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6－\f(3,2)x))＝－eq \f(3,2)(x－2)2＋6，且－eq \f(3,2)(x－2)2≤0，∴－eq \f(3,2)(x－2)2＋6≤6，∴当x＝2时，S△BDE有最大值，最大值为6.
24.【2021·昆明十中校级月考】如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
证明：如图，∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1.
又∵AD＝AC，∴∠ACB＝∠2.
∴△ABC∽△FCD.
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
解：如图，过点A作AM⊥CB于点M.
∵D是BC边上的中点，
∴BC＝2CD.
由(1)知△ABC∽△FCD，
∴eq \f(S△ABC,S△FCD)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BC,CD)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,1).
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.
∵S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AM，∴AM＝eq \f(2S△ABC,BC)＝eq \f(2×20,10)＝4.
∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴∠EDB＝∠AMB＝90°.
又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BMA.∴eq \f(DE,AM)＝eq \f(BD,BM).
由AD＝AC，AM⊥BC，知DM＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,4)BC＝eq \f(5,2).
又∵BD＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×10＝5，∴eq \f(DE,4)＝eq \f(5,5＋\f(5,2)).∴DE＝eq \f(8,3).
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