专题23 正弦定理、余弦定理及其应用（解析版）学案

这是一份专题23 正弦定理、余弦定理及其应用（解析版）学案，共20页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题23  正弦定理、余弦定理及其应用【热点聚焦与扩展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.1、正弦定理：，其中为外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）      （2）（恒等式）     （3） 2、余弦定理： 变式：（1） ① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角当时，，即为锐角；当（勾股定理）时，，即为直角； 当时，，即为钝角② 观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出（2） 此公式在已知和时不需要计算出的值，进行整体代入即可3、三角形面积公式：（1） （为三角形的底，为对应的高）（2）（3） （为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式： （5）向量方法： （其中为边所构成的向量，方向任意）    证明：       ，而           坐标表示：，则4、三角形内角和（两角可表示另一角）. 5、确定三角形要素的条件：（1）唯一确定的三角形：① 已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角② 已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角③ 两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边（2）不唯一确定的三角形① 已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个.由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例： ② 已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个.其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一.（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）6、解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解7、三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则 （知三求一）证明：在中  ① ②为中点     ①②可得：（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则 证明：过作∥交于   为的角平分线   为等腰三角形  而由可得：【经典例题】例1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数11】在中，，则 （   ）A．                B．                 C．                 D．【答案】C【思路导引】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求【解析】设，，，故选：C．【专家解读】本题考查了余弦定理以及同角三角函数关系，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记有关公式．例2．【2020年高考全国Ⅲ卷理数7】在中，，则 （   ）A．                B．             C．           D．【答案】A【思路导引】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案．【解析】在中，，，，根据余弦定理：，，可得 ，即，，故，故选A．【专家解读】本题考查了余弦定理，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记有关公式．例3．【2020年高考全国Ⅰ卷文数18】的内角的对边分别为．已知．（1）若，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求．【答案】（1）；（2）．【思路导引】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；（2）将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解．【解析】（1）由余弦定理可得，的面积．（2），，，．【专家解读】本题考查了余弦定理、三角恒等变换解三角形，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记有关公式．例4．【2020年高考全国Ⅱ卷文数17】△的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，证明：△是直角三角形．【答案】（1）；（2）证明见解析．【思路导引】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【解析】（1）∵，∴，即，解得，又，∴．（2）∵，∴，即①，又②， 将②代入①得，，即，而，解得，∴，故，即△是直角三角形．【专家解读】本题考查了余弦定理、三角恒等变换解三角形，考查诱导公式及平方关系，考查三角形形状的判断，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是熟记有关公式，进行合理转化．例5．【2020年高考山东卷17】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，          ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【思路导引】由题意结合所给的条件首先设出a，b的长度，然后结合余弦定理和正弦定理解三角形确定边长c即可．【解析】选择条件①的解析：由可得：，不妨设，则：，即．据此可得：，，此时．选择条件②的解析：由可得：，不妨设，则：，即．据此可得：，则：，此时：，则：．选择条件③的解析：由可得：，不妨设，则：，即．据此可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键熟记有关公式，进行合理转化．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．例6．【2020年高考江苏卷16】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求的值；（2）在边上取一点，使得，求的值．【答案】见解析【解析】（1）由余弦定理，得，因此，即，由正弦定理，得，因此．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故．【专家解读】本题考查了正弦定理，考查两角和与差的三角函数公式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键熟记有关公式，进行合理转化．例7．【2020年高考天津卷16】在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【思路导引】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可．【解析】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因为，所以．（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，进而，所以．【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键熟记有关公式，进行合理转化．例8．【2019年高考真题理科（北京卷）】在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．【答案】 (Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】 (Ⅰ)由题意可得：，解得：.(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，结合正弦定理可得：，很明显角C为锐角，故，故.【精选精练】1．（2020·四川巴中·高三三模）在中，，，，则（    ）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】由余弦定理可得，得，即，解得或（舍去），所以.故选：A2．（2020·江苏南通·高三三模）在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段长度（如图：粗线条部分）与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为，卫星高度角为，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，设，，由于，所以在中，．在中，，所以，解得，所以，故选：B．3．（2020·福建漳州·高三三模）在中，角的对边分别为，已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为在中，角的对边分别为，，所以由正弦定理得：，所以，因为，所以，又，所以，故选：B.4．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三三模）如图，设在中，，从顶点连接对边上两点，，使得，若，，则边长（    ）．A．38 B．40 C．42 D．44【答案】B【解析】方法一：设，，在中，由正弦定理：，可以化简得，在中，由正弦定理：，可以化简得，联立可得，可以化简得，解得，（舍去），故选B．方法二：利用余弦定理得，，，而的面积，则，则在中，由余弦定理得，，简化整理得，即，（舍），故选：B．5．（2020·福建漳州·高三三模）的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以．取的中点，延长至点，使得是中点，连接，则四边形是平行四边形，在三角形中，，，，，由余弦定理得，解得，所以三角形的面积为，故选：C.6．（2020·岳麓·湖南师大附中高三三模）在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，∵，所以O为的重心，连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，则四边形ABFC为平行四边形，，，，即，又因为，所以，∴，，设，则，在中由余弦定理得，即，解得，即.又，∴.故选：D.7．（2020·四川省绵阳江油中学高三三模）在△ABC中，分别为三个内角A、B、C的对边，且(1)求角A；(2)若且求△ABC的面积．【答案】（1）； （2）.【解析】（1）由题意，得，∴；（2）由正弦定理，得，,∴.8．（2020·四川武侯·成都七中高三三模）已知向量且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若成等差数列，且，求c边的长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对于，且，（2）由成等差数列，得，由正弦定理得，即由余弦弦定理，，9．（2020·盐城市伍佑中学高三三模）在中，角的对边分别为，且满足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，，求和的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由正弦定理可知：,已知，所以，,所以有.（Ⅱ），由余弦定理可知：,,.10．（2020·辽宁高三三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c(sinC-sinA)=(sinA+sinB) (b - a).(1)求B；(2)若c=8，点M，N是线段BC的两个三等分点，，求AM的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，则由正弦定理得:,∴，∴，又，∴．（2）由题意得是线段的两个三等分点，设，则，，又，，在中，由余弦定理得，解得（负值舍去），则，又在中,．或解：在中，由正弦定理得：，∴又，，∴，∴为锐角，∴，∴，又，∴，∴，∴，，∴在中，.11．（2020·江苏南通·高三三模）在中，角的对边分别为，且.（1）求的大小；（2）若的外接圆的半径为，面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，由正弦定理可得，，由三角形内角和定理和诱导公式可得，，代入上式可得，，所以.因为，所以，即.由于，所以.（2）因为的外接圆的半径为，由正弦定理可得，.又的面积为，所以，即，所以.由余弦定理得，则，所以，即.所以的周长.12．（2020·浙江瓯海·温州中学高三三模）已知的内角、、的对边分别为、、，，平分交于点，且，.（1）求；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，因为，，所以，，故，解得，（2）如图，绘出，因为平分，所以，因为，所以可设，，故在中，有，即；在中，有，即，两式联立，可得，因为，所以，即，化简得，联立，解得，将代入中，可得，故，，在中，，化简得，解得或（舍去）；在中，，化简得，解得或（舍去），故.