专题38 数列中的不等问题（原卷版）学案

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专题38  数列中的不等问题【热点聚焦与扩展】关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解.本专题举例说常见数列不等问题的求解方法.（一）数列中的不等关系1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性.由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理.比如：含的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前项和也可看做数列等等.4、对于某数列的前项和，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决.也可以考虑相邻项比较.在相邻项比较的过程中可发现：，所以的增减由所加项的符号确定.进而把问题转化成为判断的符号问题.（二）利用放缩法证明不等式1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若，则（此性质为放缩法的基础，即若要证明，但无法直接证明，则可寻找一个中间量，使得，从而将问题转化为只需证明即可 ）（2）若，则，此性质可推广到多项求和：若，则: （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若，则，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：，（关于的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩.从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试.（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）② 等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可. （4）与数列中的项相关的不等式问题：① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明3、常见的放缩变形：（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择.注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的，如：（2），从而有：注：对于还可放缩为：（3）分子分母同加常数：此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系.（4）                               可推广为： 【经典例题】例1.【2020年高考浙江卷20】已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．例2．【2020年高考天津卷19】已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．例3．（2020·江西东湖·南昌二中高三三模）已知数列为等差数列，是其前项和，，.数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则能取到的最小整数为（    ）A． B．0 C．1 D．2例4．（2020·全国高三三模）已知等比数列的前项和为，若，且，则等比数列公比（    ）A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值例5．（2020·福建高三三模）设，是的前项和.若是递增数列，且对任意，存在，使得.则的取值范围是（   ）A． B． C． D．例6．（2020·黑龙江哈尔滨·哈师大青冈实验中学高三三模）已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．例7．（2020·陕西西安·高新一中高三三模）已知数列的前n项和为Sn，且.（1）证明：数列是等比数列；（2）设，证明：.例8．（2020·湖南高三三模）设数列的前项和为，，，．（1）证明：为等比数列，并求；（2）记为的前项和，恒成立，求的取值范围．【精选精练】1．（2020·湖北宜昌·高三三模）已知等差数列的首项，公差为，前项和为.若恒成立，则公差的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．（2020·浙江高三三模）已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（    ）A．， B．，C．， D．，3．（2020·河北辛集中学高三三模）已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（   ）A． B． C．49 D．4．（2020·武威第六中学高三三模）已知等比数列，，，且，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．5．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中高一三模）已知，数列为等比数列，，数列的前n项和为，若对于恒成立，则的取值范围为（ ）A． B．C． D．6．（2020·全国高三三模）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（    ）A． B． C．1 D．27．（2020·山西高三三模）数列的前项和为，项由下列方式给出.若，则的最小值为（    ）A．200 B．202 C．204 D．2058．（2020·安徽蚌埠·高三三模）已知等差数列的公差不为0，，且满足成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前n项和，证明：.9．（2020·辽宁丹东·高三三模）在数列中，，.（1）设，证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）设为数列的前项和，证明：.10．（2020·河南信阳·高三三模）设数列，其前项和，又单调递增的等比数列， ， .(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)若 ，求数列的前n项和，并求证：.11．（2020·江苏如皋·高三三模）已知数列的前n项和为，满足，．（1）求证：数列为等比数列；（2）设，记数列的前n项和为，求满足不等式的最小正整数n的值．12．（2020·全国高三三模）已知等差数列满足，，数列的前项和为满足.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.