专题42 点、线、面的位置关系（解析版）学案

这是一份专题42 点、线、面的位置关系（解析版）学案，共23页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题42  点、线、面的位置关系【热点聚焦与扩展】平面的基本性质、点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型多为选择题或填空题，关于平行关系、垂直关系的证明，多是解答题的一问．平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角、线面角、二面角和距离是高考热点，因此，要加强基本判定定理、性质定理的理解与记忆.本专题通过例题说明点、直线、平面之间的位置关系问题求解方法,为解答更为复杂的问题提供坚实基础.（一）直线与直线位置关系：1、线线平行的判定（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行（3）面面平行性质：2、线线垂直的判定（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直直线与平面位置关系：（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直（二）直线与平面的位置关系1、线面平行判定定理：（1）若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行，则（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行2、线面垂直的判定：（1）若直线与平面上的两条相交直线垂直，则（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直（三）平面与平面的位置关系1、平面与平面平行的判定：（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行（2）平行于同一个平面的两个平面平行2、平面与平面垂直的判定如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直（四）利用空间向量判断线面位置关系1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量                             平面：法向量2、向量关系与线面关系的转化：(下面两个专题专门探讨“空间向量方法”)设直线对应的法向量为，平面对应的法向量为（其中在外）（1）∥∥（2）（3）∥（4）（5）（6）3、有关向量关系的结论（1）若，则   平行+平行→平行（2）若，则  平行+垂直→垂直（3）若，则的位置关系不定.4、如何用向量判断位置关系命题真假（1）条件中的线面关系翻译成向量关系（2）确定由条件能否得到结论（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假【经典例题】例1．【2020年高考浙江卷6】已知空间中不过同一点的三条直线，则“在同一平面”是“两两相交”的 （   ）A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件【答案】B【思路导引】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件．【解析】解法一：由条件可知当在同一平面，则三条直线不一定两两相交，由可能两条直线平行，或三条直线平行，反过来，当空间中不过同一点的三条直线两两相交，如图，三个不同的交点确定一个平面，则在同一平面，∴“”在同一平面是“两两相交”的必要不充分条件，故选B．解法二：依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交．当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，∴在同一平面．综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件．故选B．【专家解读】本题的特点是注重空间想象能力的考查，本题考查了平面性质中公理和公理的运用，考查直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是掌握理解平面的性质．例2．【2020年高考上海卷15】在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，到的距离为2，则过点且与平行的直线相交的面是（    ）A．     B．   C．    D． 【答案】A【解析】如图由条件可知直线交线段于点，连接，过点作的平行线，必与相交，那么也与平面相交． 故选A【专家解读】本题的特点是注重空间点、线、面位置关系的考查，本题考查了点面距，考查线面平行，考查直观想象、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键是应用图形判断位置关系．例3．（2020·云南师大附中高三三模）在正四面体中，，分别为，的中点，则下列命题不正确的是（    ）A． B．C．与所成角为 D．与所成角为【答案】D【解析】如图所示，将正四面体放入正方体中，则正四面体的每一条棱都是正方体的面对角线，，则分别是上下底面的中心.由图中容易看出，和显然成立，且与，所成角都应该为，故不正确的选项为D，故选：D.例4．（2020·江苏南通·高三三模）当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正方体棱长为1，，则，连接，，由可知，∠即为异面直线与所成角，在中，，，故，又， ，又在为单调减函数，，故选.例5．（2020·河南高三三模）如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中点，连接、、.易知是的中位线，所以且.又且，为的中点，所以且，所以且.所以四边形是平行四边形，所以，所以就是异面直线与所成的角.因为，，，、、分别是、、的中点，所以，且.由勾股定理得，所以.由勾股定理得，.在中，由余弦定理得.故选：C.例6．（2020·全国高三三模）如下图，梯形中，∥,,, ,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题：①；②三棱锥的体积为；③平面；④平面平面.其中正确命题的序号是（  ）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】①，，，，平面 平面，且平面平面，平面，平面，，故不成立，故①错误；②棱锥的体积为，故②错误；③由①知平面，故③正确；④由①知平面，又平面，，又，且、平面，,平面，又平面,平面平面，故④正确.故选：B.例7．（2020·辽宁辽阳·高三三模）在正方体中，点，分别是线段，的中点，以下结论：①直线与直线是异面直线；②直线与平面无公共点；③直线平面；④直线平面．其中正确的个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】分别取的中点，连接，因为在正方体中，点，分别是线段，的中点，所以∥，,∥,,因为∥,,所以∥，,所以四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形，所以所以平面，所以直线与直线是异面直线，所以①③正确，因为∥,，所以，因为与平面相交，所以平面相交，所以②不正确；因为平面，所以平面，所以④正确，所以正确的个数有3个故选：C例8．（2020·浙江高三三模）如图，在正方体中，点是棱的中点，（非端点）是棱上的动点．过点作截面四边形交棱于（非端点）．设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】不妨设正方体棱长为4，，则，设，直线交于，显然有，，，所以，，过作于,连结,根据三垂线定理，则，则，在中，根据等面积法有，，，，过作于,连结,根据三垂线定理，则，则，在中，根据等面积法有，，， ，过作于,连结,根据三垂线定理，则，因为平面平面，则，在中，根据等面积法有，，，，故选：B.【精选精练】1．（2020·四川达州·三模）如图，S是圆锥的顶点，是底面圆的直径，，M是线段上的点（不与端点A，S重合），N是底面圆周上的动点，则直线与不能（    ）A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直【答案】C【解析】对于A，当N不与、重合时，由异面直线的概念可得直线与异面，故A有可能；对于B，当N与、重合时，直线与相交，故B有可能；对于C，由A、B可知，直线与不能平行，故C不可能；对于D，当N与重合时，直线与垂直，故D有可能.故选：C.2．（2020·广东汕头·高三三模）在立体几何中，以下命题中假命题的个数为（    ）①若直线，平面，则.②若平面平面，平面平面，，则.③有3个角是直角的四边形是矩形.④若平面平面，平面，平面，且，则.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【解析】①若直线，平面，则或，所以不正确.②若平面平面，平面平面，,则，正确,证明如下.如图设，，在内，直线外任取一点，作，交点为，因为平面平面,则，所以。作，交点为，因为平面平面，所以，所以，又,所以．③有3个角是直角的四边形，如图可以为空间四边形，所以不正确.④若平面平面，平面，平面，且，当平面满足条件，此时与不一定垂直，所以不正确.所以假命题的个数为3个.故选：D3．（2020·肥东县综合高中高三三模）如图，已知P是矩形所在平面外一点，平面，E、F分别是，的中点.若，则与平面所成角的大小是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】取中点G，连接、，∵分别为、的中点，∴，且，又在矩形中且，∴且，∴四边形是平行四边形，∴，∴与平面所成的角等于与平面所成的角，∵平面，平面，过G作，垂足为H，平面,则，∴平面，∴为与平面所成的角，即为所求角，∵，G为的中点，∴，即与平面所成的角为.故选：C.4．（2020·内蒙古呼和浩特·高三三模）如图，已知正三棱柱的侧棱长为底面边长的2倍，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D．【答案】C【解析】正三棱柱的侧棱长为底面边长的2倍，设，则，取中点，中点，连接，如下图所示：则即为异面直线和所成的角或其补角，所以，，，所以在中由余弦定理可得，因为异面直线夹角的取值范围为，所以异面直线和所成的角的余弦值为，故选：C.5．（2020·浙江高三三模）已知矩形满足，将沿对角线AC向上翻折形成三棱锥，使得顶点的射影落在内，记与平面所成角的平面角为，与平面所成角的平面角为，二面角的平面角为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】作，交于点，交于点，则分析知顶点在内的射影落在线段（不包含端点）上，连接，，，， 则平面，，，，， ，，由射影点的位置及，知，，又，，故选：B．6．（2020·浙江高三三模）如图，在正四面体（所有棱长均相等）中，平面分别交于点，其中分别为棱的中点，不是棱的中点，则（    ）A． B． C． D．以上都有可能【答案】A【解析】如图，延长相交于点，则点必在的延长线上．过点分别作的平行线，分别与相交于点，则由，得，两式相乘得．同理，由，可得，所以，所以，所以，即，所以，故选：A7．（2020·浙江高三三模）如图，在边长为2的正方形中，分别是线段的中点，现将沿翻折至的位置，使在平面内的投影在上，设直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，则与的大小关系是（    ）A． B． C． D．不能确定【答案】C【解析】由题意得平面平面，过作于点，则平面．连接，则为直线与平面所成的角，即．由题意可知，则，所以，所以．连接，延长交于点，过点作交于点，则为异面直线与所成的角或其补角，即或．因为，所以．连接，易知为中点，为中点，所以，所以，所以，所以，故选:C．8．（2020·浙江绍兴·高三三模）如图，三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，二面角的平面角为，则不可能是(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，由题意，三棱锥为正三棱锥，过作，则为直线与直线所成角为，当无限靠近时，无限接近，但小于，则.当棱锥的侧棱无限长，无限靠近时，无限趋于但小于；二面角的平面角为，即的平面角为，由三棱锥存在，得，随着棱长无限增大，无限趋于..则不可能是.故选：D.9．（2020·广东东莞·高三三模）在棱长为1的正方体中，分别为和的中点，经过点，，的平面交于，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】平面与平面的交线与平行，即过作的平行线交于，连接，过作交于，由比例关系，为的四等分点，从而为的三等分点，故而．故选:D．10．（2020·全国高三三模）如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（    ）A．与是异面直线 B．平面C．AE，为异面直线，且 D．平面【答案】C【解析】对于A项，与在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A错；对于B项，由题意知，上底面是一个正三角形，故平面不可能，所以B错；对于C项，因为，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面是正三角形，E是BC中点，根据等腰三角形三线合一可知，结合棱柱性质可知，则，所以C正确；对于D项，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故平面不正确，所以D项不正确.故选C.11．（2020·湖南高三三模）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点F，M分别在线段AC，BD1（不包含端点）上运动，则（    ）A．在点F的运动过程中，存在EF//BC1B．在点M的运动过程中，不存在B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．四面体FA1C1B的体积不为定值【答案】C【解析】A错误由平面，//而与平面相交，故可知与平面相交，所以不存在EF//BC1B错误，如图，作由又平面，所以平面又平面，所以由//，所以，平面所以平面，又平面所以，所以存在C正确四面体EMAC的体积为其中为点到平面的距离，由//，平面，平面所以//平面，则点到平面的距离即点到平面的距离，所以为定值，故四面体EMAC的体积为定值错误由//，平面，平面所以//平面，则点到平面的距离即为点到平面的距离，所以为定值所以四面体FA1C1B的体积为定值故选：C12．（2020·浙江高三三模）如图，在三棱台中，是棱上的点，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】在三棱台中，是棱上的点，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为.由于是直线与平面内所有直线所成角中最小的角，故，排除B、D选项；若，由于，则，排除C选项.故选：A.