专题25 平面向量的模长问题（原卷版）学案

这是一份专题25 平面向量的模长问题（原卷版）学案，共4页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题25  平面向量的模长问题【热点聚焦与扩展】平面向量中涉及模长的问题，常用解法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，因此，解答这类问题时可以利用数形结合的思想，利用代数和几何特征，会加快解题速度. 本专题拟通过典型例题，介绍代数法和几何法两种思路，以期对大家有所启发.（一）代数法   利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过可得：，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若，则.某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题（二）几何法1、向量和差的几何意义：已知向量，则有：（1）若共起点，则利用平行四边形法则求，可得是以为邻边的平行四边形的对角线（2）若首尾相接，则利用三角形法则求出，可得，围成一个三角形2、向量数乘的几何意义：对于（1）共线（平行）特点：与为共线向量，其中时，与同向；时，与反向（2）模长关系：3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设三个内角所对的边为① 正弦定理：② 余弦定理：（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形.（3）矩形：若四边形的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数14】设为单位向量，且，则         ．例2.【2020年高考北京卷13】已知正方形的边长为，点满足，则 ________；__________．例3．【2020年高考上海卷12】已知是平面内两两互不相等的向量，满足且（其中），则的最大值为        ．例4．（2020·安徽高三三模）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点P满足时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的单位向量，则的最小值是（    ）A． B． C． D．例5．（2020·广西南宁·三模）已知向量，若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．例6．（2020·浙江柯城·衢州二中高三三模）已知，则的取值范围是（　　）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]例7．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）已知非零平面向量，，.满足，，且，则的最小值是（    ）A． B． C．2 D．3例8．（2020·河北桃城·衡水中学高三三模）已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为(    )A． B． C． D．【精选精练】1．（2020·山西运城·高三三模）已知向量，满足，，且，则（    ）A． B．2 C． D．32．（2020·安徽金安·六安一中高三三模）已知单位向量的夹角为，若向量，且，则（    ）A．2 B．4 C．8 D．163．（2020·湖北高三三模）已知在平面直角坐标系中，A(﹣3，0)，B(0，3)，C(3，0)，O(0，0)，（m∈R），的最小值为（    ）A． B． C． D．4．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高三三模）已知两个夹角为的单位向量，，若向量满足，则的最大值是（    ）A． B． C．2 D．5．（2020·浙江杭州·高三三模）已知向量满足，则的最小值是　　A．4 B．3 C．2 D．16．（2020·浙江镇海中学高三三模）已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（    ）A． B． C． D．57．（2020·全国高三三模）点在所在的平面内，，，，，且，则（    ）A． B． C． D．8．（2020·江苏省如皋中学高三三模）已知，，则的取值范围______.9．（2020·浦东新·上海市浦东复旦附中分校高三三模）在平面内,定点满足，动点满足则的最大值为________.10．（2020·浙江三模）已知非零向量，满足，，则的最小值为_______．11．（2020·浙江湖州·高三三模）设非零向量，，，满足，，则的最小值是________．12．（2020·全国高三三模）平面直角坐标系中，已是单位向量，向量满足，且对任意实数t成立，则的取值范围是______ .