专题24 解三角形中的最值、范围问题（解析版）学案

专题24  解三角形中的最值、范围问题

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解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.

1、正弦定理：，其中为外接圆的半径

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行

例如：（1）

     （2）（恒等式）

     （3）

2、余弦定理：

变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值

4、三角形中的不等关系

（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少

（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：

其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.

 5、解三角形中处理不等关系的几种方法

（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）

（2）利用均值不等式求得最值

【经典例题】

例1.【2019年高考北京卷文数】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为(    )

A．4β+4cosβ  B．4β+4sinβ 

C．2β+2cosβ  D．2β+2sinβ

【答案】B

【解析】设圆心为O，如图1，连接OA，OB，AB，OP，则，

所以，

因为，且都已确定，

所以当最大时，阴影部分面积最大.

观察图象可知，当P为弧AB的中点时（如图2），阴影部分的面积S取最大值，

此时∠BOP=∠AOP=π−β，面积S的最大值为=4β+S△POB+ S△POA=4β+|OP||OB|sin（π−β）+|OP||OA|sin（π−β）=4β+2sinβ+2sinβ=4β+4 sinβ，故选B.

例2.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

【解析】

由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.

例3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数17】中，．

（1）求；

（2）若，求周长的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；

（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果．

【解析】（1）由正弦定理可得：，，

，．

（2）由余弦定理得：，

即．

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为．

【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查三角形周长最大值的求解问题，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．

例4．【2020年高考浙江卷18】

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（I）求角B；

（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

【答案】（I）；（II）

【思路导引】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；

（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围．

【解析】（I）由结合正弦定理可得：，△ABC为锐角三角形，故．

（II）结合(1)的结论有：

．

由可得：，，则，，即的取值范围是．

【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键熟记有关公式，进行合理转化．解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．

例5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数17】中，．

（1）求；

（2）若，求周长的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；

（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果．

【解析】（1）由正弦定理可得：，，

，．

（2）由余弦定理得：，

即．

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为．

【专家解读】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查三角形周长最大值的求解问题，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．

例6．（2020·广西高三三模）在中,角的对边分别为,且.

(1)求角;

(2)若的面积为,求的最小值.

【答案】(1)；(2) 12.

【解析】(1)由正弦定理及已知可得

，

(2)

，    ，当且仅当时等号成立.

故的最小值为12.

例7．（2020·岳麓·湖南师大附中高三三模）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知的内角的对边分别为，，而且_____.

（1）求；

（2）求周长的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）条件选择见解析，；（2）最大值为.

【解析】（1）选①，把，整理得，

由余弦定理得，

因为，所以.

选②，因为，

由正弦定理，可得，

因为，则，所以，

可得，

又，所以，故，即.

选③，因为，

由正弦定理得：，即，

所以，

因为，所以.

（2）由（1）可知，，

在中，由余弦定理得，即，

所以，当且仅当时取等号，

所以，所以，

即周长的最大值为.

例8．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三三模）在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的值；

（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，

则，即，

因为，，则，．

（2）因为，，且为锐角三角形，则角一定为锐角，

因为，所以，即，，

又，所以，，即，

综上所述，的取值范围是．

【精选精练】

1．（2020·安徽庐江·高三三模）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，由余弦定理得,当且仅当时取“”，的最小值为，选C.

2．（2020·黑龙江爱民·牡丹江一中高三三模）设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在锐角三角形中， ，即，且，则，

即，综上，则，

因为，，

所以由正弦定理得，得，

因为，

所以，

所以，

所以b的取值范围为.故选：C.

3．（2020·江苏海陵·泰州中学高三三模）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，由正弦定理得，所以，

由于三角形是锐角三角形，所以.

由.

所以

，

由于，所以，

所以.

故选：B

4．（2020·河南高三三模）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则的周长的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

由正弦定理得，

所以，

又，得，当且仅当时等号成立，

所以的周长的最大值是.

故选：A

5．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为4，是方程的一个根，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【解析】因为，所以或.

因为，所以，所以.

因为的面积为4，所以，

所以，所以，

由余弦定理得（当且仅当时，等号成立）.

所以的最小值为.故选：D

6．（2020·福建莆田一中高三三模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由余弦定理及可得，

即，得，整理得.

，，得.

由正弦定理得，又，，

整理得.

易知在锐角三角形中， ，， 且.

， ，

，

当且仅当时等号成立.

故选：B.

7．（2020·重庆高三三模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的面积为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设中点为，则

，，即，

由知角为锐角，故 ，

当且仅当，即时最小，又在递减，故最大.此时，恰有，即为直角三角形，，故选.

8．（2020·四川省绵阳南山中学高三三模）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．2

【答案】A

【解析】由及正弦定理，得，即，

由余弦定理得，，∵，∴.

由于，∴，两边平方，得

，当且仅当时取等号，

即，∴线段长度的最小值为.

故选：A.

9．（2020·河南商丘·高三三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.

（1）求B；

（2）若，AD为BC边上的中线，当的面积取得最大值时，求AD的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由正弦定理及已知得，

结合，

得，

因为，所以，

由，得.

（2）在中，由余弦定得，

因为，所以，

当且仅当时，的面积取得最大值，此时.

在中，由余弦定理得

.

即.

10．（2020·渝中·重庆巴蜀中学三模）在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的值；

（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，

则，即，

因为，，则，．

（2）因为，，且为锐角三角形，则角一定为锐角，

因为，所以，即，，

又，所以，，即，

综上所述，的取值范围是．

11．（2020·浙江高三三模）已知，中，角，，所对的边为，，.

（1）求的单调递增区间；

（2）若，，求周长的取值范围.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1），

∴在上单调递增，

∴，

（2），得，即，，则，

而，由余弦定理知：，有，所以当且仅当时等号成立，而在中，

∵周长，

∴

12．（2020·辽河油田第二高级中学高三三模）的内角，，所对边分别为，，.已知.

(1) 求；

(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。

【答案】（1）B=60°；（2）.

【解析】（1）由题设及正弦定理得．

又因为中可得，

,所以，                   

因为中sinA0，故．   

因为，故，因此B=60°．

（2）由题设及（1）知△ABC的面积．

由正弦定理得．                

由于△ABC为锐角三角形，

故0°<A<90°，0°<C<90°， 

由（1）知A+C=180°B＝120°，

所以30°<C<90°，故  .                                 

所以，从而．

因此，△ABC面积的取值范围是．