专题15 利用导数证明多元不等式（解析版）学案

专题15  利用导数证明多元不等式

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利用函数性质、导数证明不等式，是导数综合题常涉及的问题，多元不等式的证明则是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何构造、转化合适的一元函数，本专题拟通过一些典型模拟习题为例介绍常用的处理方法.

1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：

（1）利用条件粗略确定变量的取值范围

（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用

2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序

3、证明多元不等式通常的方法有两个

（1）消元：① 利用条件代入消元  ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元

（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式

（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法.

【经典例题】

例1．（2020·江西南昌二中高三三模）已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个零点，，证明：.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）由题设可得定义域，，

①当，恒成立，在上单调递减；

②当，，

当，，故在单调递减；当，，故在单调递增.

（2）证明：由（1）知，有两个零点，，则且，得，则，

又，，

又，且，

又，即，

又在上单调递减，

，

又，

，所以原命题成立.

例2．（2020·安徽高三三模）已知点是曲线上任意一点，.

（1）若在曲线上点P处的切线的斜率恒大于，求实数a的取值范围.

（2）点､是曲线上不同的两点，设直线的斜率为k.若，求证：.

【答案】（1）或；（2）证明见解析.

【解析】（1）由得

，

由题意得，当时，恒成立，

即当时，恒成立，

设函数，则其对称轴方程为，在上恒成立.

若，即，则在上单调递增，

∵在上恒成立，

∴，解得；

若，则，即，解得.

综上可得或.

（2）若，则，由于，不妨先设，

令，，

，

故在上单调递增，

所以，即，∴，

∴，

∴得证.

综上可知，原命题得证.

例3．（2020·四川高三三模）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点､，且，求证：.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）的定义域为，

当时，，则在上是增函数

当时，；，

所以在上是减函数，在上是增函数

综上，当时，在上是增函数；

当时，在上是减函数，在上是增函数

（2）若函数有两个零，点，，根据（1），可得.

不妨设，由，得

两式相减，得，解得，

要证明，即证

即证，

设，则

则，则，

所以在上为增函数，从而，即成立，

因此，成立.即

例4．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三三模）已知函数在处的切线与直线平行．

（1）求实数的值，并判断函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，，且，求证：．

【答案】（1）；在上是单调递减；在上是单调递增；（2）证明见解析.

【解析】（1）函数的定义域：，，解得，

，

令，解得，故在上是单调递减；

令，解得，故在上是单调递增.

（2）由为函数的两个零点，得

两式相减，可得 即，，

因此， 令，由，得.

则， 构造函数，

则所以函数在上单调递增，故，

即，可知.故命题得证.

例5．（2020·江西景德镇一中高三三模）已知函数.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，且，证明：.

【答案】（1）递增区间，递减区间（2）证明见解析

【解析】（1）时，，

，

所以当或时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

（2），

因为函数有两个极值点，

所以只需，解得，

例6．（2020·南昌县莲塘第一中学高三三模）已知函数，且曲线在处的切线平行于直线．

（1）求a的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）已知函数图象上不同的两点，试比较与的大小．

【答案】（1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是；（3）

【解析】（1）的定义域为．

曲线在处的切线平行于直线，，．

（2），．

当时，是增函数；当时，是减函数．

函数的单调增区间是，单调减区间是．

（3），，．

又，

．

设，则，

在上是增函数．

令，不妨设，，，

即．又，，．

例7．（2020·湖南常德市一中高三三模）设关于的方程有两个实根，且.定义函数.

（1）求的值；

（2）若，求证：.

【答案】（1）；（2）证明详见解析.

【解析】（1）

.

（2），，

所以在上是单调递增函数，所以

，，

所以，

，

，

所以成立.

例8．（2020·全国高三三模）已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，，，证明：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）．

因为.

当时，，此时在上单调递减；

当时，由解得或，

∵是增函数，

∴此时在和单调递减，在单调递增．

（2）由（1）知，∴，所以，所以，

∵，∴，

，

令，

∴，

∴在上是减函数，，

∴，即．

所以原不等式得证.

【精选精练】

1．（2020·陕西高三三模）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，，求证：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）的定义域为，．

当时，，则在上是增函数．

当时，；，

所以在上是减函数，在上是增函数．

综上，当时，在上是增函数；

当时，在上是减函数，在上是增函数．

（2）若函数有两个零，点，，根据（1），可得．

不妨设，由，得

两式相减，得，解得，

要证明，即证，

即证，

设，则．

则，则，

所以在上为增函数，从而，即成立，

因此，成立．即证.

2．（2020·福建高三三模）已知函数.

（1）当时，求的最值；

（2）当时，若的两个零点分别为，证明：.

【答案】（1），无最大值（2）证明见解析

【解析】（1）解：当时，，定义域为，

，

当时，；当时，.

可知在上单调递减，在上单调递增，

所以，无最大值.

（2）证明：，因为，所以在上单调递增，

又因为，所以当时，，当时，.

所以的最小值为，

因为，所以在上存在一个零点；

因为，可知在上也存在一个零点；

所以，故.

3．（2020·全国高三三模）已知函数．

（1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值；

（2）为的导函数，当，时，求证：．

【答案】（1）极大值，极小值；（2）详见解析.

【解析】由题意得：定义域为，，

（1）当时，，

当和时，；当时，，

在，上单调递增，在上单调递减，

极大值为，极小值为.

（2）要证：，

即证：，

即证：，

化简可得：．

，，即证：，

设，令，则，

在上单调递增，，则由，

从而有：.

4．（2020·河南高三三模）已知函数，.

（1）设函数，若，求的极值；

（2）设函数，若的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：.

【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）证明见解析.

【解析】（1）因为，

所以，

.

令，得，

所以在，上单调递增；

令，得，

所以在上单调递减.

故的极大值为，

故的极小值为.

（2）证明：，

因为函数的图象与的图象有两个不同的交点，

所以关于的方程，即有两个不同的根.

由题知①，②，

①+②得③，

②-①得④.

由③，④得，

不妨设，记.

令，则，

所以在上单调递增，

所以,

则，即，

所以.

因为

所以，

即.

令，

则在上单调递增.

又，

所以，

即，

所以.

两边同时取对数可得，得证.

5．（2020·四川省绵阳南山中学高三三模）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，若，使得成立，求实数a的取值范围；

（3）若方程有两个不相等的实数根，求证：.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）（3）证明见解析

【解析】（1）（）

当时，，函数在上单调递增；

当时，由得；

由得，函数在上递增，在上递减

（2）当时，，

令得（舍去），

当时，，

①当时，则显然成立，即

②当时，则，即，

综上.

（3）要证，由（1）知由得；

只要证明即可

∵是方程的两个不等实根，不妨设

∴，

∴，

即，∴

即证

即证，

设

令，

则在上单调递增，恒成立，得证.

6．（2020·辽宁大连·高三三模）已知，函数.

（1）是函数数的导函数，记，若在区间上为单调函数，求实数a的取值范围；

（2）设实数，求证：对任意实数，总有成立.

附：简单复合函数求导法则为.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）由已知得，记，则.

①若，，在定义域上单调递增，符合题意；

②若，令解得，自身单调递增，

要使导函数在区间上为单调函数，

则需，解得，

此时导函数在区间上为单调递减函数.

综合①②得使导函数在区间上为单调函数的的取值范围是.

（2）因为，不妨设，取为自变量构造函数，

，则其导数为

在R上单调递增

而且，

所以，

即.

故关于的函数单调递增，

即证得.

7．（2020·甘肃高三三模）已知函数的导函数为.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若的两个零点从小到大依次为，，证明：.

【答案】（1）   （2）证明见解析

【解析】（1）因为，所以.

因为直线的斜率为，

曲线在处的切线与直线垂直，所以，

即，所以.

（2）因为，且的两个零点从小到大依次为，，

所以，是方程的两个根，

所以，，

又，，，所以且，

欲证，只需证，

而，

令，则，

所以在上单调递增，

所以，

所以成立.

8．（2020·内蒙古乌兰察布·三模）已知.

（1）若在上单调递减，求的取值范围；

（2）当时，若正数，满足，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1），由题意在上单调递减知当时，

恒成立，故.令，，

即在上单调递减，在上单调递增，

因为，，故，即.

（2）当时，，

即，

令，，

故在上单调递减，在上单调递增，故，

即，即有，

因为，所以.

9．（2020·云南师大附中高三三模）已知函数.

（1）若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值；

（2）记的极值点为，函数的零点为，当时，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）解：，其定义域为，

∵，

代入切点横坐标得

，

∴.

（2）证明：∵，

令，

当时，，

所以在上单调递增．

又，，

所以，使得．

当时，，即，单调递减；

当时，，即，单调递增，

所以是的极小值点，所以，

所以且，

即，，

因为为的零点，即

所以，

又当时，是单调递增函数，

由可得．

10．（2020·山东聊城·高考三模）已知函数

讨论函数的单调性；

设，若不相等的两个正数满足，证明：．

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】 ，，

当时，在单调递增，

当时，时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，

，

，

，

，

不妨设，则，

所以只要证，

令，t，

在上单调递减，

，，．

11．（2020·四川省宜宾市第四中学校高三三模）已知函数.

（1）求函数的最值；

（2）函数图象在点处的切线斜率为有两个零点，求证：.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【详解】（1），

当时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值；

当时，在上单调递增，在上单调递减，有最大值，无最小值.

（2）依题知，即，所以，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

因为是的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设.

因为，

所以，

变形为.

欲证，只需证，

即证.

令，则只需证对任意的都成立.

令，则

所以在上单增，

即对任意的都成立.

所以.

12．（2020·宁夏银川一中高三三模）已知函数的图象在处的切线过点.

（1）若函数，求的最大值（用表示）；

（2）若，证明：.

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】（1）由，得，

的方程为，又过点，

∴，解得.

∵，

∴，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

故.

（2）证明：∵，∴，

，∴

令，，，令得；令得.

∴在上递减，在上递增，

∴，∴，，解得：.