专题22 y=Asin(wx+φ)与函数图象的变换（原卷版）学案

专题22  y=Asin(wx+φ)与函数图象的变换

【热点聚焦与扩展】

近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数 的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：

（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；

（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；

（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.

在有关三角函数的解答题中，凡涉及到的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用三角恒等变换或结合函数的图象等化简或求得，本专题主要介绍函数解析式求法及其图象变换.

（一）表达式的化简：

1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础）

（1）降幂公式：

（2）

（3）两角和差的正余弦公式

（4）合角公式：，其中（这是本讲的主角，也是化简的终结技）

2、关于辅助角公式：的说明：

（1）使用范围：三个特点：① 同角（均为），②齐一次，③正余全

（2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为的形式了，通过以下三步：

①一提：提取系数：，表达式变为：

② 二找：由，故可看作同一个角的正余弦（称为辅助角），如，可得：

③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：

（3）举例说明：

①

②

③

（4）注意事项：

① 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角

② 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子：

，可视为，那么此时表达式就变为：

，使用两角差的余弦公式：

所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式.找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式.

当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但与本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~）

③ 通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的来代替，再在旁边标注的一个三角函数值.

3、表达式的化简攻略：

   可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，所以说几条适用性广的建议：

（1）观察式子：主要看三点

① 系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）

② 确定研究对象：是以作为角来变换，还是以的表达式（例如）看做一个角来进行变换.

③ 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次），若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要使用合角公式，其结果成为的形式.例如：

齐二次式：，齐一次式：

（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式，（还有句老话：平方降幂）

例如：，确定研究对象了：，也齐一次，但就是角不一样（一个是 ，一个是）那么该拆则拆，将打开

于是就可合角了

（二）求解的值以确定解析式

1、的作用

（1）称为振幅，与一个周期中所达到的波峰波谷有关

（2）：称为频率，与的周期相关，即

（3）：称为初相，一定程度上影响的对称轴，零点

2、的常规求法：

（1）：

① 对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到

② 对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：

（2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解

① 如果相邻的两条对称轴为，则

② 如果相邻的两个对称中心为，则

③ 如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则

注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.

（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围

3、确定解析式要注意的几个问题：

（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定的值，再根据对称轴对称中心的距离确定，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定.

（2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况.如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题.

【经典例题】

例1．【2020年高考江苏卷10】将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是      ．

例2．（2020·梅河口市第五中学高三三模）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后，得到函数的图像，已知分别在，处取得最大值和最小值，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

例3．（2020·石家庄一中高三三模）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为

A． B． C． D．

例4．（2020·山西三模）已如函数区间上单调，且，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

例5．（2020·宁夏兴庆·银川二中高三三模）已知函数的部分图像如图所示，其中为图像上两点，将函数图像的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

例6．（2020·四川高三三模）已知函数的图象经过点，且将图象向左平移个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的，都有成立，则实数的最大值是（    ）

A． B． C． D．

例7．（2020·山西迎泽·太原五中三模）将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

例8．（2020·天水市第一中学高三三模）已知函数的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则（  ）

A． B． C． D．

【精选精练】

1．（2020·雅安市教育科学研究所高三三模）关于函数的图象向右平移个单位长度后得到图象，则函数（    ）

A．最大值为3 B．最小正周期为

C．为奇函数 D．图象关于轴对称

2．（2020·安徽芜湖·高三三模）若将函数图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·全国高三三模）已知函数（）在上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·河南三模）将函数的图象向左平移个单位长度，若所得图象与原图象关于轴对称，则（    ）

A． B．0 C． D．

5．（2020·宁夏银川二中三模）已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·北京延庆·三模）若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ）．

A． B． C． D．

7．（2020·山西大同·高三三模）函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（   ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

8．（2020·四川省绵阳江油中学高三三模）给出下列命题：①曲线的一个对称中心是；②若是第一象限角，且，则；③函数是偶函数；④函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，其中正确命题的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三三模）已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）

A． B．

C． D．

10．（2020·山西平城·大同一中三模）如图是函数在区间上的图像，将该图像向右平移个单位长度后，所得图像关于直线对称，则的最大值为（    ）．

A． B． C． D．

11．（2020·江西省信丰中学三模）已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（   ）

A． B． C． D．

12．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中三模）已知函数的图象向左平移个单位长度后，图象关于轴对称，设函数的最小正周期为，极大值点为，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．