专题24 解三角形中的最值、范围问题（原卷版）学案

专题24  解三角形中的最值、范围问题

【热点聚焦与扩展】

解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.

1、正弦定理：，其中为外接圆的半径

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行

例如：（1）

     （2）（恒等式）

     （3）

2、余弦定理：

变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值

4、三角形中的不等关系

（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少

（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：

其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.

 5、解三角形中处理不等关系的几种方法

（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）

（2）利用均值不等式求得最值

【经典例题】

例1.【2019年高考北京卷文数】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为(    )

A．4β+4cosβ  B．4β+4sinβ 

C．2β+2cosβ  D．2β+2sinβ

例2.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

例3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数17】中，．

（1）求；

（2）若，求周长的最大值．

例4．【2020年高考浙江卷18】

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（I）求角B；

（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

例5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数17】中，．

（1）求；

（2）若，求周长的最大值．

例6．（2020·广西高三三模）在中,角的对边分别为,且.

(1)求角;

(2)若的面积为,求的最小值.

例7．（2020·岳麓·湖南师大附中高三三模）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知的内角的对边分别为，，而且_____.

（1）求；

（2）求周长的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

例8．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三三模）在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的值；

（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围．

【精选精练】

1．（2020·安徽庐江·高三三模）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．

2．（2020·黑龙江爱民·牡丹江一中高三三模）设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·江苏海陵·泰州中学高三三模）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·河南高三三模）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则的周长的最大值是（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为4，是方程的一个根，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

6．（2020·福建莆田一中高三三模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·重庆高三三模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的面积为（     ）

A． B． C． D．

8．（2020·四川省绵阳南山中学高三三模）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．2

9．（2020·河南商丘·高三三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.

（1）求B；

（2）若，AD为BC边上的中线，当的面积取得最大值时，求AD的长.

10．（2020·渝中·重庆巴蜀中学三模）在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的值；

（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围．

11．（2020·浙江高三三模）已知，中，角，，所对的边为，，.

（1）求的单调递增区间；

（2）若，，求周长的取值范围.

12．（2020·辽河油田第二高级中学高三三模）的内角，，所对边分别为，，.已知.

(1) 求；

(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。