专题12 函数的极（最）值问题（原卷版）学案

专题12  函数的极（最）值问题

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从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．

从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式、方程等结合考查．在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.

(一)函数的极值问题

1、函数极值的概念：

（1）极大值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极大值，记作，其中是极大值点

（2）极小值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极小值，记作，其中是极小值点，极大值与极小值统称为极值

2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点：

（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

3、极值点的作用：

（1）极值点为单调区间的分界点

（2）极值点是函数最值点的候选点

4、在处可导，那么为的一个极值点

说明：①前提条件：在处可导

  ②单向箭头：在可导的前提下，极值点导数，但是导数不能推出为的一个极值点，例如：在处导数值为0，但不是极值点

  ③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：在处不可导，但是为函数的极小值点）

5、求极值点的步骤：

（1）筛选： 令求出的零点（此时求出的点有可能是极值点）

（2）精选：判断函数通过的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点

（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点

6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程.

7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点.

8、极值点与函数奇偶性的联系：

（1）若为奇函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极小（极大）值点

（2）若为偶函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极大（极小）值点

（二）函数的最值问题

1、函数的最大值与最小值：

（1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值

（2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值

（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点

（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到.没有最大值.

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个.

2．“最值”与“极值”的区别和联系

如图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是

（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.

（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

3、结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．

4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点.

5、利用导数求函数的最值步骤:

一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求在内的极值；

（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值

6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础

7、在比较的过程中也可简化步骤：

（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点

（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点

8、最值点的作用

（1）关系到函数的值域

（2）由最值可构造恒成立的不等式：

例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式.

【经典例题】

例1．（2020·四川邻水实验学校高三三模）若函数满足，且，则函数（    ）

A．既无极大值又无极小值 B．有极小值无极大值

C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值

例2．（2020·四川内江·三模）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

例3．（2020·四川省绵阳江油中学高三三模）函数在的极值点个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

例4．（2020·全国高三三模）已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

例5．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学三模）已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

例6．（2020·黑龙江哈尔滨·高三三模）若函数在上有最大值，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

例7．（2020·洛阳市第一高级中学高三三模）若定义域为的偶函数满足，且当时，，则函数在上的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

例8．【2020年高考天津卷20】已知函数，为的导函数．

（Ⅰ）当时，

（i）求曲线在点处的切线方程；

（ii）求函数的单调区间和极值；

【精选精练】

1．（2020·广西柳城县中学高三三模）函数在处有极值为10，则a的值为（    ）

A．3 B．-4 C．-3 D．-4或3

2．（2020·衡水市第二中学高三三模）若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

3．（2020·河北易县中学高三三模）已知，是函数的两个极值点，则的最小值为（    ）

A． B．9 C．5 D．

4．（2020·贵州贵阳一中高三三模）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

5．（2020·吉林高三三模）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·黑龙江尖山·双鸭山一中高三三模）若函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·甘肃兰州·高三三模）已知定义在上的函数，是的导函数，且满足，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．（2020·山东泰安·三模）若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（  ）

A． B． C． D．

9．（2020·福建高三三模）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，当时，.若时，的最大值为，则（    ）

A． B． C． D．

10．（2020·浙江高三三模）已知函数（，是自然对数的底数）在处取得极小值，则的极大值是（    ）

A． B． C． D．

11．（2020·湖南怀化·高三三模）关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在单调递增 B．有极小值为0，无极大值

C．的值域为 D．的图象关于直线对称

12．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数只有一个极值点，则实数a的取值范围是（    ）

A．（﹣∞，0]∪[，+∞） B．（﹣∞，0]∪[，+∞）

C．（﹣∞，0]∪[，+∞） D．（﹣∞，]∪[0，+∞）