专题06 函数的图象（解析版）学案

这是一份专题06 函数的图象（解析版）学案，共19页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，方法总结，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题06  函数的图象【热点聚焦与扩展】高考对函数图象的考查，主要有作图、识图、用图，考查数形结合思想的应用.命题形式有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、方程问题、不等式问题等，常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质等．常常与导数结合考查.（一）基础知识1、描点法作函数图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2、做草图需要注意的信息点：   做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图象形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图象更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点：（1）一次函数：,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线.特点：两点确定一条直线.信息点：与坐标轴的交点.（2）二次函数：，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图象，另一侧由对称性可得.函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图象更为精确.特点：对称性信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点.（3）反比例函数：,其定义域为，是奇函数，只需做出正版轴图象即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线.特点：奇函数（图象关于原点中心对称），渐近线.信息点：渐近线注：（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，轴是渐近线，那么当，曲线无限向轴接近，但不相交，则函数在正半轴就不会有轴下方的部分。（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若（或）时，常数，则称直线为函数的水平渐近线例如： 当时，，故在轴正方向不存在渐近线             当时，，故在轴负方向存在渐近线（3）竖直渐近线的判定：首先在处无定义，且当时，（或），那么称为的竖直渐近线例如：在处无定义，当时，，所以为的一条渐近线.综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图象中：与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线.2、函数图象变换：设函数，其它参数均为正数（1）平移变换：：的图象向左平移个单位：的图象向右平移个单位：的图象向上平移个单位：的图象向下平移个单位（2）对称变换：：与的图象关于轴对称：与的图象关于轴对称：与的图象关于原点对称（3）伸缩变换：：图象纵坐标不变，横坐标变为原来的 ：图象横坐标不变，纵坐标变为原来的（4）翻折变换：：即正半轴的图象不变，负半轴的原图象不要，换上与正半轴图象关于轴对称的图象：即轴上方的图象不变，下方的图象沿轴对称的翻上去.（二） 方法与技巧：1、在处理有关判断正确图象的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：（1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图象位于轴上方的区域表示原函数的单调增区间，位于轴下方的区域表示原函数的单调减区间（2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分（3）极值点（4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察（5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间为函数的上凸部分. 2、利用图象变换作图的步骤：（1）寻找到模板函数（以此函数作为基础进行图象变换）（2）找到所求函数与的联系（3）根据联系制定变换策略，对图象进行变换.3、如何制定图象变换的策略（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求② 横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化例如：可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则（只对加），可解得，故向左平移个单位③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行例如：有两种方案方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）4、变换作图的技巧：（1）图象变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图象的精确性（2）图象变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与轴的交点等【经典例题】例1.【2020年高考天津卷3】函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象．【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误．故选A．【专家解读】本题的特点是函数图象及其性质的应用，本题考查了函数图象的识别，考查数形结合思想，考查数学运算、数学直观等学科素养．解题关键是观察函数图象，结合排除法解决问题．【方法总结】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．例2.【2020年高考全国Ⅰ卷文理数7】设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为 （   ）A．                B．                C．                D．【答案】C【思路导引】由图可得：函数图像过点，即可得到，结合是函数图像与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解．【解析】由图可得：函数图像过点，将它代入函数可得：，又是函数图像与轴负半轴的第一个交点，∴，解得：，∴函数的最小正周期为，故选C．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是三角函数图象对称性的应用．例3.【2020年高考浙江卷4】函数在区间的图像大致为 （   ）A．                B．                C．                D． 【答案】A【思路导引】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图像．【解析】，，∴函数是奇函数，故排除C，D，当时，，∴排除B，故选A．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数图像的识别，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是灵活运用三角函数图像及其性质，结合特殊值法解决问题．【方法总结】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．例4.【2020年高考山东卷10】右图是函数的部分图像，则 （   ）A．         B．         C．         D．【答案】BC【思路导引】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A，当时，，解得：，即函数的解析式为：，而，故选：BC．【专家解读】本题的特点是注重三角函数图象的应用，本题考查了三角函数图象及其性质，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是正确确定的值．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ．(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．例5．（2020·安徽省定远中学高三三模）已知函数，则的大致图象为A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；又因为，可排除选项.故选A.例6．（2020·四川省绵阳南山中学高三三模）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是A． B．C． D．【答案】D【解析】因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近>0，-2的右侧<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，排除BC，当x<-2且在-2的左侧附近时，，排除AC，故选D例7．（2020·陕西新城·西安中学高三三模）函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，知为奇函数，排除D；，排除C；，排除A．故选：B例8．（2020·贵州六盘水·高三三模）已知定义在上的奇函数满足 ，当时， ，则函数 在区间上所有零点之和为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】函数在区间上的零点就是函数与函数的交点的横坐标．∵∴，即函数的周期为，且函数的图象关于直线对称．又可得，从而函数的图象关于点(π,0)对称．函数的图象关于点(π,0)对称．画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(π,0)对称．所以函数在区间上所有零点之和为2π+2π=4π．选D．【精选精练】1．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）函数的图象不可能是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为A、B选项中，图像关于原点对称，所以为奇函数，，即，所以．当的图像为选项A；当的图像为选项B．而C、D选项中，图像关于轴对称，所以为偶函数，，即，所以．当，故的图像为选项D，故的图像不可能为C．故选：C．2．（2020·浙江杭州·高三三模）函数（其中为自然对数的底数）的图象可能是（    ）A．     B． C．                     D．【答案】D【解析】当时，，排除AB；当时，，排除C.故选：D.3．（2020·辽宁高三三模）已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则，解得.故选：C.4．（2020·陕西西安·高三三模）定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，方程g[f（x）]＝0解得个数不可能的是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为时，有唯一解，不妨设唯一解为，由图象可知，则由g[f（x）]＝0可得，因为，由图象可知，可能有1根，2根，3个根，不可能又4个根，故选：D5．（2020·陕西西安·高三三模）函数的大致图象是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数是偶函数，排除选项B、C；当时，，对应点在第四象限，排除A．故选：D．6．（2020·河南南阳·高三三模）已知函数，将此函数图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（    ）①绕着x轴上一点旋转；②以x轴为轴，作轴对称；③沿x轴正方向平移；④以x轴的某一条垂线为轴，作轴对称；A．①③ B．③④ C．②③ D．②④【答案】B【解析】对于①，设轴上的点为，则绕该点旋转后所得图象与原函数的图象关于对称，故变换后图象的解析式为，若的图象与图象重合，则对任意的恒成立，令，则即.故，若为偶数，则，因为，此时的图象与图象不重合；若为奇数，则，因为，故此时的图象与图象不重合；故①错误.对于②，以x轴为轴，作轴对称，故变换后图象的解析式为，因为，故的图象与不重合，故②错误.对于③，若的图象向右平移个单位，则变换后图象的解析式为，此时变换后的图象与原函数的图象重合，故③正确.对于④，取直线，以该直线为轴，作轴对称，则变换后所得图象的解析式为，此时变换后的图象与原函数的图象重合，故④正确.故选：B.7．（2020·河北新华·石家庄二中高三三模）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】A项,,与所给函数图象不相符，故A项不符合题意B项，，为奇函数，与所给函数图象不相符，故B项不符合题意C项，，与所给函数图象不符.故C项不符合题意综上所述,A、B、C项均不符合题意,只有D项符合题意，故选：D.8．（2020·浙江省富阳中学高三三模）函数的图象不可能是(    )A． B．C． D．【答案】C【解析】,∴.(1)当时,,图象为A;(2)当时,,∴在上单调递增,令得,∴当时,,当时,,∴在上单调递减,在上单调递增,图象为D;(3)当时,,∴在上单调递减,令得,∴当时,,当时,,∴在上单调递减,在上单调递增,图象为B;故选：C.9．（2020·天津北辰·高三三模）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程恰有两个根，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，，解得： 所以 ，又因为函数是偶函数，关于轴对称，并且周期，若方程恰有两个根，即函数与的图象有2个交点，如图，画出函数和的图象，当时，，，当直线过点时，此时直线的斜率，由图象可知若函数与的图象有2个交点，只需满足 ，解得：或 即的取值范围是.故选：B10．（2020·梅河口市第五中学高三三模）已知如下六个函数：，，，，，，从中选出两个函数记为和，若的图像如图所示，则（     ）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用排除法：函数为偶函数， 题中所给函数图象不关于轴对称，选项A错误；当时，，选项B错误；当时，，选项C错误；本题选择D选项.11．（2020·安徽池州·高三三模）函数的部分图象可能是（　　）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除C、D；当时，，，，即，故排除B，选A。12．（2020·山东聊城·高三三模）函数的图像大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，，所以，排除AB选项；当时，，，所以，排除D选项.故选：C.