专题18 恒成立问题-最值分析法（解析版）学案

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专题18  恒成立问题-最值分析法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 最值法：讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法.1、最值法的特点：（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论2、理论基础：设的定义域为（1）若，均有（其中为常数），则（2）若，均有（其中为常数），则3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）② 缩小参数与自变量的范围：   通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）   观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内【经典例题】例1．（2020·安徽高三三模）已知函数，其导函数为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A．（0，1） B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，所以对任意的恒成立等价于对任意的恒成立，即对任意的恒成立.令，则，当时，，则在上单调递减，所以，符合题意；当时在上单调递减，在上单调递增，所以，不合题意.所以实数的取值范围为.故选：C例2．（2020·柳州高级中学高三三模）如果关于x的不等式x3﹣ax2+1≥0在[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A．a≤0 B．a≤l C．a≤2 D．a【答案】A【解析】当时，不等式成立，当时  关于x的不等式x3﹣ax2+1≥0在恒成立，即在恒成立，令，，当时，，当时，.所以在递增，在递减当时，当时，所以的最小值为0.所以故选：A例3．（2020·河南平顶山·高三三模）已知函数对有成立，则k的最小值为（    ）A．1 B． C．e D．【答案】B【解析】由题意，函数对有成立，当时，取时，可得，所以不符合题意，舍去；当时，令，则，令，可得或，（1）当时，则，则在上恒成立，因此在单调减，从而对任意，总有，即对任意，都有成立，所以符合题意；（2）当时，，对于，因此在内单调递增，所以当时，，即存在不成立，所以不符合题意，舍去，综上可得，实数的取值范围是，即实数的最小值为．故选：B．例4．（2020·定远县育才学校高三三模）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【答案】A【解析】设则，当时，所以在上递增，得所以当时，恒成立.若不等式在上恒成立，得函数在上递减，即当时，恒成立，所以即，可得恒成立，因为,所以，故选．例5．（2020·全国高三三模）不等式对于任意正实数恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由不等式对于任意正实数恒成立，令，求导得，因为，所以按与2比较分类讨论：当时，，所以在区间上是增函数，又，所以．当时，因为是增函数，所以有唯一正数解，设为，所以在区间上，，是减函数，所以在上，，不合题意．综上所述，实数的取值范围是．例6．（2020·宁夏银川一中三模）对于任意实数，当时，有恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】当时， 恒成立等价于恒成立，等价于在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因为当时，，所以.故答案为：.例7．（2020·江苏南京·高三三模）若对任意a[e，)（e为自然对数的底数），不等式对任意xR恒成立，则实数b的取值范围为_______．【答案】[﹣2，)【解析】当时，显然成立，；当时，，令，则，易知：当时，，递增，当时，，递减，∴，故；综上，实数b的取值范围为[﹣2，)．故答案为：[﹣2，)．例8．（2020·河南南阳中学高三三模）已知函数，，若对，总有或成立，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】由，得，故依题只须对任意，恒成立，，其中，，只须．令，，（1），，在单调递减，（1）在，单调递减，（1），．故答案为：【精选精练】1．（2020·重庆高三三模）已知函数（，），若对任意都有成立，则（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】若对任意都有成立，则说明函数在时取得最小值.对函数求导得，则应满足，即，构造函数，则，当时，，函数递增，当时，，函数递减，所以当时，函数取得最大值为，所以恒成立，即，恒成立，故选D.2．（2020·河北邢台·高三三模）若函数在上为减函数，则的取值范围为（     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，.由于函数在上为减函数，则不等式在区间上恒成立，且函数在区间上单调递增，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.3．（2020·青海西宁·高三三模）若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)【答案】B【解析】由题意对上恒成立，所以在上恒成立，设，则，由，得，当时，，当时，，所以时，，所以，即实数的取值范围是.4．（2020·河南三模）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为不等式对任意恒成立，所以对任意恒成立，设，，则.设，则，因为在上单调递减，所以，则在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，解得，所以的取值范围是.故选：C5．（2020·四川省泸县第四中学高三三模）若对任意，恒成立，则a的取值范围是（    ）A．    B． C．    D．【答案】C【解析】设，则对任意恒成立，设，则，且，设，则，所以在上是减函数，在上是增函数，所以，所以的最小值为，即的最小值为，所以.故选：C．6．（2020·江苏泰州中学高三三模）若关于的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数的取值范围是______【答案】【解析】关于的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立,等价于对任意的实数恒成立，即在恒成立，设，则，令，得，令，得，所以在递增，在递减，又，所以，所以，即a的取值范围是，故答案为：7．（2020·广东佛山一中高三三模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为__________.【答案】【解析】，则恒成立，等价于令因此在单调递增，在单调递减，故故答案为：8．（2020·河南南阳中学高三三模）已知函数，其中为自然对数的底数.若不等式恒成立，则的最小值为_________.【答案】【解析】首先，，由，得，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取最大值，即，则有解，令，，令，得在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为.，即的最小值为.故答案为：.9．（2020·江苏盐城·高三三模）若对任意实数，都有成立，则实数的值为________.【答案】【解析】设，若判别式，则有解，设一解为，则时，不满足恒成立，则，此时，因为，①即时，函数在单调递减，，则，即，不满足题意；②即时，记较小值为，则在单调递增，由可得，即，不满足题意；③即时，在，递减，则，，则成立，综上.故答案为：.10．（2020·安徽淮北·三模）已知函数为奇函数，为偶函数，对于任意均有，若对任意都成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由已知得……①，所以，又因为为奇函数，为偶函数，所以……②，①②联立解得，，将代入不等式得，对任意都成立，即，对任意都成立，设，则，令，解得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的最大值为，即，所以实数的取值范围是.11．（2020·南开·天津二十五中三模）对于总有成立，则=     　        ．【答案】4【解析】要使恒成立，只要在上恒成立． 当时，，所以，不符合题意，舍去．当时，即单调递减，，舍去．当时① 若时在和上单调递增，在上单调递减．所以② 当时在上单调递减，，不符合题意，舍去．综上可知a=4.12．（2020·湖南怀化·高三三模）已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为______．【答案】【解析】由，则对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则，所以函数在单调递增，因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，故，所以，所以实数的最大值为．