专题52 几何关系巧解圆锥曲线问题（解析版）学案

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专题52  几何关系巧解圆锥曲线问题【热点聚焦与扩展】解决圆锥曲线中的范围、最值问题一般有三种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解；三是通过建立不等式、解不等式求解.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用几何关系解答圆锥曲线的综合问题，特别是最值（范围）问题的常见解法.1、利用几何关系求最值的一般思路:（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到.因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值.所以只有共线时才有可能达到最值.要注意动点与定点相对位置关系.一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上.（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置.2、常见的线段转移：（1）利用对称轴转移线段（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移.（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化.（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上）3、与圆相关的最值问题：（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为，若最小，则要取最大，在圆中为定值，在弦绕旋转的过程中， ，所以时，最小（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 （4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为解：，则若最小，则只需最小即可，所以点为过作垂线的垂足时，最小过作圆的切线，则切线长最短4、与圆锥曲线相关的最值关系：（1）椭圆：设椭圆方程为 ① 焦半径：焦半径的最大值为，最小值为 ② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直（2）双曲线：设双曲线方程为① 焦半径：焦半径的最小值为，无最大值② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直（3）抛物线：设抛物线方程为① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即 ② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为 【经典例题】例1．（2020·山西运城·高三三模）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（    ）.A． B． C． D．【答案】A【解析】抛物线的准线方程为，，到准线的距离为2，故点纵坐标为1，把代入抛物线方程可得．不妨设在第一象限，则，点关于准线的对称点为，连接，则，于是故的最小值为．故选：A．例2．（2020·北京海淀·人大附中高三三模）点P在曲线上，过P分别作直线及的垂线，垂足分别为G，H，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知是抛物线的准线，交点，由抛物线的性质可知,，如图，当在一条直线上时，取得最小值为，利用点到直线距离公式可以求出，所以的最小值为.故选：B.例3．（2020·湖北东西湖·武汉为明学校高三三模）已知F是抛物线的焦点，则过F作倾斜角为的直线交抛物线于（A点在x轴上方）两点，则的值为（    ）A．9 B．3 C．2 D．【答案】B【解析】因为，所以直线的方程为所以由可得，解得或因为A点在x轴上方，所以，所以故选：B例4．（2020·河北桃城·衡水中学高三三模）已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，2），∴抛物线的准线方程为l：x＝﹣1，直线AF的斜率为k＝﹣2，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠NMP＝﹣k＝2，∴2，可得|PN|＝2|PM|，得|MN||PM|，因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：．故选C．例5．（2020·山东省平邑县第一中学高三三模）已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若，则双曲线C的离心率为（　　）A． B． C． D．2【答案】A【解析】如图所示，设双曲线的半焦距为c，渐近线方程为：y＝±，则点F（c，0），A（c，），设点B（x0，），∵BF∥OA，∴，即，解得：x0，所以∴，又∵，∴0，即a2＝3b2．∵c2＝a2+b2，∴a2＝3（c2﹣a2），即3c2＝4a2，所以离心率e．故选：A．例6．（2020·湖南益阳·高三三模）过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若，O为坐标原点，则（      ）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】如图,作分别作关于准线的垂线,垂足分别为,直线交准线于.过作的垂线交于,准线与轴交于.则根据抛物线的定义有.设,,故,,故.故,故是边的中位线,故.故.故选：A例7．（2020·梅河口市第五中学高三三模）设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，，则与面积的比（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图过，两点分别作准线的垂线，垂足分别为，，因为 ∽，所以，由抛物线定义得，，因为，所以，因为，所以，，所以 ，所以直线AB的方程为，将代入上式得，，解得 或，所以，，所以 ，所以，故选：D 例8．（2020·安徽高三三模）已知直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若对于任意时，为定值，则实数的值为（    ）.A．12 B．8 C．4 D．2【答案】B【解析】设，将代入得，，将代入得，，，，故选：B.【精选精练】1．（2020·山西运城·高三三模）已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】抛物线的准线方程为，∵，∴到准线的距离为4，故点纵坐标为2，把代入抛物线方程可得．不妨设在第一象限，则，点关于准线的对称点为，连接，则，于是故的最小值为．故选：B．2．（2020·全国高三三模）已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义知，所以.又，如图，设直线交椭圆于，两点.当为点时，最小，最小值为.故选：B3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，其中在左支上，在右支上，若点在线段的中垂线上，则（    ）A． B．8 C． D．4【答案】A【解析】由点在线段的中垂线上可知，,由双曲线定义可知，，，两式相加得，.故选: A.4．（2020·湖北武汉·高三三模）已知过抛物线C：焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，的圆心，半径为1，设，，则设直线方程为，，，，，，故选：B5．（2020·贵州贵阳·高三三模）已知是双曲线的右焦点，是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点.若，则的离心率为(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨设点在第一象限，如图：设渐近线的倾斜角为，则，所以，又，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以.故选：A.6．（2020·福建高三三模）已知椭圆，圆，，分別为椭圆和圆上的点，，则的最小值为　　A． B． C． D．【答案】D【解析】由圆，得．作出椭圆与圆的图象如图，为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，则，圆过点，要使最小，则需要取最大值为圆的直径．的最小值为．故选：．7．（2020·湖南益阳·高三三模）如图，已知，为椭圆：（）的左、右焦点，过原点 的直线与椭圆交于两点（），若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由两边平方得，所以，由椭圆的对称性知四边形为矩形，又因为，所以，又因为，由矩形的面积公式与椭圆的定义得，解得：，所以，即是方程 的实数根，又因为，所以所以，所以 .故选：D.8．（2020·佛山市顺德区容山中学高三三模）已知抛物线与圆相交于A，B两点，点M为劣弧上不同A，B的一个动点，平行于轴的直线MN交抛物线于点N，则的周长的取值范围为（    ）A．(3，5) B．(5，7) C．(6，8) D．(6，8]【答案】C【解析】画出图象如下图所示.圆的圆心为，半径为，抛物线的焦点为，准线为.由解得，所以.设平行于轴的直线交抛物线的准线于，根据抛物线的定义可知，所以的周长为.而，所以.也即周长的取值范围是.故选：C9．（2020·四川仁寿一中高三三模）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交于，两点，与的准线交于点，若，则的值等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意设直线，，，，，则，，由联立得，则△，①，②．，点是线段的中点，③，由①③可得代入②可整理得：，解得：．又，．故选：D．10．（2020·陕西新城·西安中学高三三模）如图，，分别为双曲线：（a，）的左､右焦点，过点作直线l，使直线l与圆相切于点P，设直线l交双曲线的左右两支分别于A､B两点（A､B位于线段上），若且，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．4【答案】C【解析】连接，因为且，所以，设，则，，由双曲线的定义知：，，，在直角中有：，（1）在直角中有：，（2）在直角中有：，（3）由（2）（3），可得，由（1）（2）可得，（4）将代入（4）可得，所以双曲线的离心率为。故选：C.11．（2020·广东深圳·高三三模）已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PF的中点，连接OM，则△OMQ的最小面积为（    ）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【解析】如图所示：设P（x1，y1），Q（x2，y2），设P在x轴上方，由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x＝my+1，联立直线与抛物线的方程，整理可得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，因为M为PF的中点，所以yM，所以S△OMQ＝S△OFQ+S△OMF|OF|•|y2|•1，当且仅当取等号.所以△OMQ的最小面积为，故选：B．12．（2020·芜湖县第一中学高三三模）已知椭圆的左，右焦点分别为，抛物线的准线过点，设是直线与椭圆的交点，是线段与抛物线的一个交点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由椭圆，有，所以得.所以，抛物线的准线：过点.所以，得，所以抛物线，由是直线与椭圆的交点，不妨设在轴上方,将直线：代入椭圆方程.得，即，，过作直线于，由抛物线定义知，又，所以，∴，∴.故选：A