专题48 圆锥曲线的几何性质（解析版）学案

这是一份专题48 圆锥曲线的几何性质（解析版）学案，共18页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题48  圆锥曲线的几何性质【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. 高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.命题以小题为主，多为选择题或填空题. 高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明圆锥曲线的几何性质有关问题的解法与技巧，离心率问题在下一专题讲述.（一）椭圆：1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点的距离和为定值（定值大于）的点的轨迹称为椭圆，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距（2）标准方程：①焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中②焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在轴的椭圆为例：（1）：与长轴的顶点有关：，称为长轴长     ：与短轴的顶点有关：，称为短轴长     ：与焦点有关：，称为焦距（2）对称性：椭圆关于轴，轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设，则（4）通径：焦点弦长的最小值① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦② 过焦点且与长轴垂直的弦说明：假设过，且与长轴垂直，则，所以，可得.则（5）离心率：，因为，所以（6）焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径① 设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为（7）焦点三角形面积：（其中）证明：且        因为，所以，由此得到的推论：① 的大小与之间可相互求出② 的最大值：最大最大最大为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点距离差的绝对值为一个常数（小于）的点的轨迹称为双曲线，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：① 焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中② 焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在轴的双曲线为例：（1）：与实轴的顶点有关：，称为实轴长     ：与虚轴的顶点有关：，称为虚轴长     ：与焦点有关：，称为焦距（2）对称性：双曲线关于轴，轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设，则有或， （4）离心率：，因为 ，所以 （5）渐近线：当或时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线.① 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出关于的直线即可.例如在中，求渐近线即解：，变形为，所以即为双曲线的渐近线② 渐近线的几何特点：直线所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现的关系.（6）通径：① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段  外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦轴， （7）焦半径公式：设双曲线上一点，左右焦点分别为，则① （可记为“左加右减”）② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为 （8）焦点三角形面积：设双曲线上一点，则（其中）（三）抛物线：1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线2、抛物线的标准方程及焦点位置：（1）焦点在轴正半轴：，焦点坐标（2）焦点在轴负半轴：，焦点坐标（3）焦点在轴正半轴：，焦点坐标（4）焦点在轴负半轴：，焦点坐标小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：，则焦点在轴上，且坐标为3、焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则4、焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）【经典例题】例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数4】已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则 （   ）A． B． C． D．【答案】C【思路导引】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案．【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得，选C．例2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数11】设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（   ）A．                B．                C．                D． 【答案】B【思路导引】由是以为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可．【解析】由已知，不妨设，则，∵，∴点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，∴，解得，∴，故选B．【专家解读】本题的特点是注重双曲线的基本应用，本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线的定义的应用．例3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数7理数5】设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为 （   ）A．                B．             C．           D．【答案】B【思路导引】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果．【解析】解法一：∵直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，∴，代入抛物线方程，求得，∴其焦点坐标为，故选B．解法二：将代入 得．由OD⊥OE得，即，得，∴抛物线的焦点坐标为，故选B．【专家解读】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是解题关键是抛物线的定义及抛物线对称性的应用．例4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线的左、右焦点，离心率为．是上的一点，且．若的面积为，则              （   ）A．                B．                 C．                 D．【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选A．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则，又∵，∴．解法三：设，则，，，求的．【专家解读】本题考查了双曲线的定义、标准方程及其几何性质，考查双曲线焦点三角形的计算，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线的定义以及性质的应用．例5．【2020年高考天津卷7】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【思路导引】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．故选．【专家解读】本题考查了双曲线、抛物线标准方程及其几何性质，考查直线平行与垂直位置关系的应用，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是直线与直线的位置关系的应用．例6．【2020年高考浙江卷8】已知点．设点满足，且为函数图像上的点，则 （   ）A．            B．            C．            D．【答案】D【思路导引】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．【解析】由条件可知点在以为焦点的双曲线的右支上，并且，∴，方程为 且点为函数上的点，联立方程 ，解得：，，，故选D．【专家解读】本题考查了双曲线的定义、标准方程及其几何性质，考查函数与方程思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是二次曲线的位置关系的应用．例7．【2020年高考北京卷7】设抛物线的顶点为，焦点为，准线为；是抛物线异己的一点，过做⊥于，则线段的垂直平分线              （   ）A．经过点        B．经过点        C．平行于直线     D．垂直于直线 【答案】B【解析】如图，连接PF，由抛物线的定义知|PF|=|PQ|，所以线段的垂直平分线经过点，故选B．【专家解读】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其几何性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是抛物线定义的应用．例8．【2020年高考山东卷9】已知曲线 （   ）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上   B．若，则是圆，其半径为C．若，则是双曲线，其渐进线方程为D．若，，则是两条直线【答案】ACD【思路导引】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线．【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确．故选：ACD．【专家解读】本题考查了圆锥曲线的定义及其几何性质，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是圆锥曲线定义的应用．【精选精练】1．（2020·山东青岛·高三三模）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）A．当时，曲线为椭圆，其焦距为B．当时，曲线为双曲线，其离心率为C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切【答案】B【解析】对于，当时，曲线的方程为，轨迹为椭圆，焦距，错误；对于，当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，则，，离心率，正确；对于，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解集为空集，不存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线，错误；对于，当时，曲线的方程为，其渐近线方程为，则圆的圆心到渐近线的距离，双曲线渐近线与圆不相切，错误.故选：.2．（2020·河北张家口·高三三模）已知直线与椭圆：交于两点，点，分别是椭圆的右焦点和右顶点，若，则（    ）A．4 B．2 C． D．【答案】D【解析】 设椭圆的另一焦点为，连 ，直线过原点， 所以坐标原点为中点， 互相平分，  所以四边形为平行四边形， ，  ，  .  故选：D.    3．（2020·湖北黄石港·黄石二中高三三模）已知椭圆C：（）的左，右焦点分别为，，点P是圆上一点，线段与椭圆C交于点Q，，，则椭圆C的长轴长为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】椭圆C：中，所以圆的圆心为，且半径，由椭圆定义可得，所以，在中，，，所以由余弦定理得，整理得，解得，所以椭圆C的长轴长为.故选：C4．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三三模）P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线的方程为，，分别是双曲线的左､右焦点，若，则（    ）A．12 B．16 C．18 D．20【答案】A【解析】不妨设，因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以即，所以双曲线的方程为，所以点，所以点的横坐标为，代入双曲线的方程可得点的纵坐标为，所以，.故选：A.5．（2020·安徽高三三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，为双曲线上一个动点，，为其左，右焦点，的最小值为，则此双曲线的焦距为（    ）.A．2 B．4 C． D．【答案】D【解析】设，，则，表示到原点距离的平方，当为双曲线顶点时取得最小值，所以，即，，，双曲线的一条渐近线为，则，所以，，焦距为．故选：D．6．（2020·河南高三三模）已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，虚轴的两个端点分别为，，若四边形的内切圆面积为，则双曲线焦距的最小值为（    ）A．8 B．16 C． D．【答案】D【解析】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形的内切圆半径为，双曲线半焦距为，则所以，四边形的内切圆面积为，则，解得，则，即故由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立.故焦距的最小值为.故选：D7．（2020·安康市高新中学高三三模）设，分别为双曲线的左，右焦点，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设以为直径的圆与渐近线相交于点，由对称性得，由，解得，，∵，∴，∴，∴，∴渐近线方程为．故选：D8．（2020·山西运城·高三三模）已知曲线的抛物线及抛物线组成，，，是曲线上关于轴对称的两点（四点不共线，且点在第一象限），则四边形周长的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设抛物线的焦点为，则四边形的周长:，当共线时取等号，故选：B.9．（2020·安徽安庆·高三三模）已知抛物线C：（）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆的切线，切点分别为点A，B.若，则p的值为（    ）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【解析】连接，如下图因为F就是圆的圆心，所以，且.又，所以，那么，所以是等边三角形所以.又，所以.故选：C.10．（2020·陕西高三三模）已知双曲线，过左焦点F作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第一象限，若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一  由题意可得直线的方程为，双曲线C过第一、三象限的渐近线的方程为．由得，所以．因为，所以，整理可得，即，所以双曲线C的渐近线方程为，解法二  设双曲线C的右焦点为，连接，因为，所以，所以为直角三角形，，因为直线的斜率为，所以，又，所以，令，则，由勾股定理得，所以，即，所以，所以，，则双曲线C的渐近线方程为.解法三  设双曲线的右焦点为，连接，因为，所以，所以为直角三角形，，即点A在以为直径的圆上，所以．因为直线的斜率为，所以，所以，则双曲线C的渐近线方程为，故选：B．11．（2020·浙江高三三模）已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（    ）A．    B．    C．   D．与大小不确定【答案】B【解析】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示：因为是的内心，设内切圆的半径为，所以，所以，所以，又因为是的重心，所以，所以，所以，故选：B.12．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中高三三模）已知是抛物线的焦点，抛物线上动点，满足，若，的准线上的射影分别为，且的面积为,则（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】过点A作轴的垂线垂足于C，交NB的延长线于点D．设，则.①，即②③联立①②③解得，， 故选D