专题17 恒成立问题-数形结合法（原卷版）学案

专题17  恒成立问题-数形结合法

【热点聚焦与扩展】

不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.

1、函数的不等关系与图象特征：

（1）若，均有的图象始终在的下方

（2）若，均有的图象始终在的上方

2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数

3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等

4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）

5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备

6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：

（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图

（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义

（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征

【经典例题】

例1．（2020·济南市历城第二中学高三三模）已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例2．（2020·河南高三三模）已知函数，，若方程有2不同的实数解，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．  C． D．

例3．（2020·北京市陈经纶中学高三三模）设函数.若关于x的不等式有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例4．（2020·浙江省东阳中学高三三模）已知不等式在上无解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例5．（2020·黑龙江哈尔滨·哈师大附中高三三模）若是函数的极值点，函数恰好有一个零点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． 

C．                    D．

例6．（2020·甘肃三模）设函数是定义在上的单调函数，且，.若函数有两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例7．（2020·陕西西安中学高三三模）已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

例8．（2020·江西省信丰中学高三三模）已知函数，方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【精选精练】

1．（2020·安徽安庆·高三三模）函数恰有两个零点，，且，则所在区间为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·江西南昌二中高三三模）已知定义域为的函数满足：当时，，时，．若，且方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·陕西西安中学高三三模）已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·安徽六安·高三三模）已知函数，.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·湖南高三三模）已知为函数的导数，且，若，方程有且只有一个根，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

6．（2020·北京昌平·高三三模）已知，若成立，则满足条件的的个数是(   )

A．0 B．1 C．2 D．3

7．（2020·河南南阳中学高三三模）若关于x的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

8．（2020·河南高三三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

9．（2020·江西高三三模）已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．（2020·黑龙江铁人中学高三三模）设函数，，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（    ）

A．， B．， C．， D．，

11．（2020·四川攀枝花·高三三模）已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．（2020·河南安阳·高三三模）已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．