专题68 利用同构特点解决问题（原卷版）学案

专题68  利用同构特点解决问题

【热点聚焦与扩展】

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明利用同构特点解决问题的方法与技巧.

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式

2、同构式的应用：

（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根

（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式

（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程

（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

【经典例题】

例1．（2020·通榆县第一中学校高三三模）已知函数，若()，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例2．（2020·北京四中高三三模）已知函数 给出下列三个结论：① 当时，函数的单调递减区间为；② 若函数无最小值，则的取值范围为；③ 若且，则，使得函数恰有3个零点,,，且. 其中，所有正确结论的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

例3．（2020·天津南开中学高三三模）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例4．（2020·蕉岭县蕉岭中学高三三模）已知奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

例5．（2020·山东新泰市第一中学高三三模）已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

例6．（2020·辽宁大连·高三三模）设数列的前项和为．若，，，则值为（    ）

A．363 B．121 C．80 D．40

例7．（2020·全国高三三模）已知数列的前项和，其中．

（1）求数列的通项公式．

（2）若数列满足，．

证明：①数列为等差数列．

②求数列的前项和．

例8．（2020·上海市南洋模范中学高三三模）已知椭圆的右焦点为F(1，0)，且点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值；

（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆E过且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由.

【精选精练】

1．（2020·广东中山纪念中学高三三模）已知函数，若,且 ，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·南昌县莲塘第一中学高三三模）已知函数，若(互不相等)，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·重庆高三三模）设函数若互不相等的实数满足则的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

4．（2020·河南高三三模）设，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·福建漳州·高三三模）已知是定义在上的函数的导函数，且，当时，恒成立，则下列判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

6．（2020·霍邱县第二中学高三三模）已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·上海嘉定·高三三模）设数列的前项和为，且是6和的等差中项．若对任意的，都有，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

8．（2020·安徽六安一中高三三模）已知数列前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

9．（2020·湖南永州·高三三模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线于，两点.过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，若直线与抛物线的准线交于第四象限的点，且，求直线的方程.

10．（2020·宝山·上海交大附中高三三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点，倾斜角为45°，与椭圆交于A、B两点.

（1）若，求椭圆方程；

（2）对（1）中椭圆，求的面积；

（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关系.

11．（2020·安徽高三三模）椭圆的离心率为，上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线为抛物线的准线，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上的任一点（不在轴上），交椭圆于另一点交椭圆于另一点，求证：三点共线．

12．（2020·沙坪坝·重庆一中高三三模）已知椭圆的右焦点为，离心率，点A、B分别是椭圆E的上、下顶点，O为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过F作直线l分别与椭圆E交于C、D两点，与y轴交于点P，直线AC和BD交于点Q，求的值.