专题51 曲线与方程-求轨迹方程（原卷版）学案

专题51 曲线与方程-求轨迹方程

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纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.

1、求点轨迹方程的步骤：

（1）建立直角坐标系

（2）设点：将所求点坐标设为，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）

（3）列式：从已知条件中发掘的关系，列出方程

（4）化简：将方程进行变形化简，并求出的范围

2、求点轨迹方程的方法

（1）直接法：从条件中直接寻找到的关系，列出方程后化简即可

（2）代入法：所求点与某已知曲线上一点存在某种关系，则可根据条件用表示出，然后代入到所在曲线方程中，即可得到关于的方程

（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：

① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹

       直角→圆：若，则点在以为直径的圆上

确定方程的要素：圆心坐标，半径

② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹

确定方程的要素：距离和，定点距离

③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹

注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支

确定方程的要素：距离差的绝对值，定点距离

④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹

确定方程的要素：焦准距：.若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程

（4）参数法：从条件中无法直接找到的联系，但可通过一辅助变量，分别找到与的联系，从而得到和的方程：，即曲线的参数方程，消去参数后即可得到轨迹方程.

【经典例题】

例1．（2020·四川内江·高三三模）已知点、，动点满足，则点的轨迹是（　　）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

例2．（2020·广东深圳三模·）当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（    ）

A．    B．

C． D．

例3．（2020·江西新余四中高三三模）如图：在正方体中，点是的中点，动点在其表面上运动，且与平面的距离保持不变，运行轨迹为，当从点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

例4．（2020·上海市嘉定区第一中学高三三模）如图所示，在正方体中，点P是平面上一点，且满足为正三角形．点M为平面内的一个动点，且满足．则点M在正方形内的轨迹为（ ）

A． B．

C． D．

例5．（2020·辽宁高三三模）已知半径为的圆与轴交于两点，圆心到轴的距离为.若，并规定当圆与轴相切时，则圆心的轨迹为(    )

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线

例6．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三三模）已知点A，B关于坐标原点O对称，，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线相切，若存在定点P，使得当A运动时，为定值，则点P的坐标为（    ）

A． B． C． D．

例7．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

例8．（2016·山西运城·高三三模）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是 （ ）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

【精选精练】

1．（2020·广东普宁·高三三模）与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）

A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上

C．一条抛物线 D．一个圆上

2．（2020·上海高三三模）在平面直角坐标系内，到点和直线：距离相等的点的轨迹是（    ）

A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线

3．（2020·全国高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（    ）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线

4．（2020·辽宁沈阳·高三三模）已知椭圆，点A，B分别是它的左，右顶点.一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，又当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，则直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

5．如图，在平面直角坐标系中，、、，映射将平面上的点对应到另一个平面直角坐标系上的点，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点的轨迹是（ ）

A． B． C． D．

6．（2020·四川成都七中高三三模）正方形中，若，在底面内运动，且满足，则点的轨迹为（    ）

A．圆弧 B．线段    C．椭圆的一部分     D．抛物线的一部分

7．（2020·天水市第一中学高三三模）动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是 （   ）

A． B．

C． D．

8．（2020·北京市陈经纶中学高三三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（   ）.

A． B． C． D．

9．（2020·内蒙古包头·高三三模）已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（    ）

A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点

C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点

10．如图所示，已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（    ）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

11．（2020·北京房山·高三三模）如图，在正方体中，为棱的中点，动点在平面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹为（    ）

A．两个点 B．线段    C．圆的一部分   D．抛物线的一部分

12．（2020·四川内江·高三三模）已知平面内的一个动点P到直线l：x＝的距离与到定点F（，0）的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C，过原点O且斜率为k（k＜0）的直线l与曲线C交于M、N两点，则△MAN面积的最大值为（    ）

A． B．2 C． D．1