专题16 恒成立问题-参变分离法（原卷版）学案

专题16  恒成立问题-参变分离法

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无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.利用导数求解含参数的问题时，首先，要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次，要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等.

1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围

2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.

3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：

（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等

（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）

4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）

（1）若的值域为

①，则只需要

  ，则只需要

②，则只需要

  ，则只需要

③，则只需要

  ，则只需要

④，则只需要

  ，则只需要

（2）若的值域为

① ，则只需要

   ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

② ，则只需要

   ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

   ，则只需要

④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

   ，则只需要

5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理

（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.

（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.

【经典例题】

例1．设函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

例2．（2020·江西南昌二中高三三模）已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，求实数的取值范围为（    ）

A．， B．， C．， D．，

例3．（2020·黑龙江双鸭山一中高三三模）已知对任意实数都有，，若恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例4．（2020·河南高三三模）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

例5．（2020·黑龙江鹤岗·高三三模）已知定义在上的函数，为其导函数，满足，且，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例6．（2020·陕西西安·高三三模）若函数有两个不同的极值点，，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例7．（2020·甘肃高三三模）设函数是定义在上的单调函数，且，．若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例8．（2020·浙江高三三模）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

【精选精练】

1．（2020·山东省实验中学高三三模）已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·全国高三三模）已知函数对均有，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·吉林高三三模）已知函数，若对恒成立，则的取值范围是（    ）

A．， B． C．， D．

4．（2020·霍邱县第二中学高三三模）函数f(x)＝ax2－xlnx在[，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A．[，＋∞) B．(，＋∞)

C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)

5．（2020·安徽高三三模）已知函数，若存在实数，对任意都有成立.则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·黑龙江牡丹江一中高三三模）已知函数在区间内任取两个实数p，q，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·湖北武汉·高三三模）已知函数，对任意，，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．

8．（2020·深圳市宝安中学高三三模）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

9．（2020·天津市梧桐中学高三三模）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

10．（2020·江西上饶·高三三模）已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

11．（2020·天津南开中学高三三模）已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．（2020·柳州高级中学三模）已知函数，（，为实数），若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．