专题03 解三角形（周长问题）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

这是一份专题03 解三角形（周长问题）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案，共9页。学案主要包含了例题讲解，实战练习等内容，欢迎下载使用。
三角函数与解三角形专题三：解三角形（周长问题）解三角形是高中数学教学中的一个重要内容，也是高考的热点之一。解三角面积或者周长最值问题，由于涉及的知识点多，灵活性大，综合性强，往往成为学生的弱项。本文结合具体例题，讲解核心秘籍。1、正弦定理及其变形 2、余弦定理及其推论            3、常用的三角形面积公式（1）；（2）（两边夹一角）；4、基本不等式①②二、例题讲解1．（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））设的内角的对边分别为，且的最大边的边长为（1）求角；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知条件，结合余弦定理求，即可求角；（2）由（1）知，应用正弦定理可得，进而由三角形内角性质及三角恒等变换可得，即可求的范围.【详解】（1）由题意得，，由余弦定理得，即.（2）方法一：由（1）可知，中角为最大角，由大角对大边知：，由余弦定理得；整理得，所以，又两边之和大于第三边，所以∴.方法二：由（1）可知，中角为最大角，由大角对大边知：，由正弦定理知，，∴，即，而，又，∴，可得，∴.2．（2021·陕西汉台中学高三月考（文））已知锐角内角，，及对边，，，满足．（1）求的大小；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合，可得的值．（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由已知求出的取值范围，再利用正弦函数的性质即可求解其范围．【详解】解：（1）因为，由正弦定理可得，又因为，所以，可得，由，可得．（2）因为，，由正弦定理，可得，，可得，因为锐角三角形中，所以，解得，所以，所以，可得． 必备知识 必备秘籍1、正弦定理边角互化；必备秘籍2、余弦定理 必备秘籍4、均值不等式    感悟升华（核心秘籍）1、本节例题中，第1题第（2）问提供两种方法，即可以用余弦定理+均值不等式求的取值范围，也可以通过边角互化转化成角求得取值范围，为何第2题只能通过边角互化，而不能用余弦定理+均值不等式？答：在这个两个例题中，特别注意第2题是锐角三角形；第一题对三角形没有做限制，在有限制三角形形状时，特别注意选择化成角来解决取值范围的问题，直接用余弦定理，在求取值范围问题时，有一边的范围是求不出来的；像本节例题第2题第（2）问，就只能用化角求范围，而不选择用余弦定理三、实战练习1．（2021·湖北高三开学考试）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换可得出，求出角的取值范围，可得出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围．【详解】解：（1）由及正弦定理得，所以，所以，所以，由，可得；（2），，所以，所以：，因为为锐角三角形，则，解得，所以，，则，所以，.2．（2021·全国高三其他模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，.（1）求角的大小；（2）若，，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角形的面积公式及向量的数量积可得角的正切值，结合的范围即可得解；（2）由（1）及已知求出的取值范围，再由正弦定理及正弦函数的性质求出的取值范围即得.【详解】（1）在中，因，则，即，而，得，所以角的大小为；（2）由知，于是得为钝角，又，则，由正弦定理得，则，，则，而，即，则，于是得，，所以周长的取值范围为.3．（2021·肥城市教学研究中心）在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求A；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理得，化简得，利用的范围可得答案；（2）由正弦定理得，利用的范围和三角函数的性质可得答案.【详解】（1）由正弦定理得，因为，所以，所以，即，解得，因为，所以.（2）由正弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以，所以.4．（2021·江苏南京市·金陵中学高三开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足．（1）求角的大小；（2）若边长，求的周长的取值范围．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得的值，结合，可得的值；（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换可得，再由求出的周长的取值范围．【详解】（1）的面积满足，由面积公式和余弦定理得，则，即，又，所以．（2）因为，，所以由正弦定理得，则的周长，由得，则，所以，故的周长的取值范围是，．5．（2021·重庆高三月考）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若的面积为2，求的周长的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可求得角；（2）由三角形面积求得，再由基本不等式求得的最小值，结合余弦定理求得的最小值，从而得周长最小值．【详解】解析：（1）由已知，得，由正弦定理，得，即.再由余弦定理得.又，所以.（2）由（1）及已知得，的面积为，所以.又，当且仅当时等号成立，于是，所以三角形周长，所以周长最小值为，此时，.