专题03 利用导数研究函数恒成立问题 (解析版)-【高考数学之解题思路培养】 (全国通用版)学案
展开一、必备秘籍
分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路
用分离参数法解含参不等式恒成立问题,是指在能够判断出参数的系数正负的情况下,可以根据不等式的性质将参数分离出来,得到一端是参数,另一端是变量表达式的不等式,只要研究变量表达式的最值就可以解决问题.
①一般地,若对恒成立,则只需;
②若对恒成立,则只需。
二、例题讲解
1.(2021·浙江嘉兴·高三模拟预测)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的不等式在上恒成立.求的取值范围;
【答案】(1)的单调增区间为;单调减区间为;(2);(3)证明见解析.
【分析】
(1)分情况讨论,然后用导数法求单调区间即可;
(2)由得,令,则问题可转化为成立,利用导数法求解的最值即可求解;
【详解】
当时,,
,由解得,由解得,
故的单调增区间为,单调减区间为;
当时,由,得的定义域为,
,
令解得,
由解得,由解得,
故的单调增区间为,单调减区间为;
经验证,时,的单调增区间也符合,单调减区间也符合;
综上可知:的单调增区间为,单调减区间为;
(2),
令,
则,
令,则,
由解得,由解得,
故在递增,在递减,,
,所以,
在上单调递增,
,
的取值范围;
2.(2021·全国高三专题练习(文))已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)有极小值,无极大值;(2)
【分析】
(1)求出函数的导数,判断出函数的单调性,即可求出极值;
(2)由题可得在上恒成立,易得时满足,当时,在上恒成立,构造函数,求出导数,判断的单调性,得出,即可求出的取值范围.
【详解】
(1)当时,,
所以,
当时;当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以当时函数有极小值,无极大值.
(2)因为在上恒成立,
所以在上恒成立,
当时恒成立,此时,
当时在上恒成,
令,则,
由(1)知时,即,
当时;当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,,
所以,
综上可知,实数的取值范围是.
【点睛】
思路点睛:不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围,
若不等式(是实参数)恒成立,将转化为或恒成立,进而转化为或,求的最值即可.
三、实战练习
1.(2021·山东济宁一中高三开学考试)已知函数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,有成立,求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【分析】
(1)对函数求导,进而讨论a的范围,最后得到函数的单调区间;
(2)采用分离参数法,转化为求函数的最值问题,通过导数方法求出函数的最值,进而得到答案.
【详解】
(1)函数的定义域为,
时,恒成立,函数在上单调递增;
时,令,得.
当时,,函数为减函数;
当时,,函数为增函数.
综上所述,当时,函数的单调递增区间为,无单调递减区间;
当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)若x=1,成立,;
若,问题恒成立,记,,
则函数g(x)在上单调递减,所以,所以.
综上:.
2.(2021·吉林长春外国语学校高三开学考试(理))设函数.
(1)证明:当时,;
(2)若对任意的,都有,求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【分析】
(1)由题可求出函数的最小值,根据条件可得最小值大于等于0即证;
(2)利用参变分离,然后求函数的值域即可.
【详解】
(1)由题意可知函数的定义域为,
又,令得,,
∴当时,,当时, ,
∴在上单调递减,在上单调递增,
所以的最小值为,
当时,,∴,
即当时,;
(2)∵对任意的,都有,
∴在上恒成立,
故在上恒成立,令,则
在上恒成立,
∴在上单调递增,
∴,
所以.
3.(2021·全国高三开学考试(理))已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若对任意的,均有,求实的最小值.
【答案】(1)减区间为(0,1),增区间为;(2)1.
【分析】
(1)化简函数并求解导函数,进而确定单调区间即可;
(2)运用变量分离法构造新函数转化不等式恒成立问题,进而求解出参数的值.
【详解】
(1)的定义域为,
当时,,则,
当时,,在上 单调递减,
当时,,在上单调递增,
所以的减区间为(0,1),增区间为;
(2)因为对任意的,恒成立,即恒成立.
令,则,
令,则在上单调递增,
因为,,
所以存在,使得,
当时,,,单调递增;
当时,,,单调递减,
由,可得,则.
所以,又恒成立,
所以,故m的最小值为l.
4.(2021·孟津县第一高级中学高三月考(文))定义在上的关于的函数.
(1)若,讨论的单调性;
(2)在上恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)在上,单调递减;在上,单调递增;(2).
【分析】
(1)直接解和即可得到的单调性;
(2)分类讨论:先判断,不合题意﹔当时,利用导数讨论单调性,求出的取值范围;当,利用导数讨论单调性,求出的取值范围;
【详解】
(1),
时,,
在上,,单调递减﹔
在上,,单调递增.
(2)由(1),
若,在上,,单调递增,,不合题意﹔
若,
在上,,;
在上,,,
由题意,,
若,
在上,,单调递减,
则在上,符合题意,
综上所述,.
5.(2021·全国高三专题练习)已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)若对任意有恒成立,求实数的取值范围;
【答案】(1),;
【分析】
(1),,根据函数的图象在点处的切线的方程为.可得(1),(1),解得,,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出实数的取值范围.
【详解】
解:(1),.
函数的图象在点处的切线的方程为.
(1),(1),
,解得,.
.
,
,.
当时,函数取得最大值,.
对任意有恒成立,所以,.
.
实数的取值范围是,.
6.(2021·全国高三模拟预测(理))设函数,.
(1)若恒成立,求的取值范围;
【答案】(1);(2)证明见解析.
【分析】
(1)参变分离将问题等价于恒成立,令,利用导数求出函数的最小值,即可得到答案;
【详解】
(1)因为,所以
恒成立,即恒成立,
令,,
当时,;
当时,.
,所以.
7.(2021·宁夏银川一中高三模拟预测(理))已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若对于任意,都有成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【分析】
(1)求出函数在处导数,即切线斜率,求出,即可求得切线方程;
(2)不等式可转化为对任意恒成立,构造函数,求出导数,再构造函数,通过导数可得,从而得出单调递增,求得最大值即可.
【详解】
(1)若,则,则,
则,即切线斜率为,又,
则切线方程为,即;
(2)由可得,
即对任意恒成立,
令,则,
令,则,
所以在单调递增,则,
则,所以在单调递增,,
所以,即.
【点睛】
关键点睛:解决本题的关键是分离参数并两次构造函数讨论单调性,从而求得函数的最大值.
8.(2021·安徽安庆一中高三三模(文))已知函数.
(1)讨论的极值
(2)当时,的图象始终在的图象的下方,求a的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析;(2).
【分析】
(1)求导得,进而分,两种情况讨论求解即可;
(2)根据题意将问题转化为对,都有恒成立,进而令,,求函数的最小值即可.
【详解】
解:(1)函数的定义域为,
①时,,所以在单减,没有极值
②时,令得,故在单调递增,
令得,故在单调递减.
有极小值,没有极大值
(2)原题等价于对,都有恒成立,
等价于对,都有恒成立,
令,,
则,令,可得,
若,则;若,则,
在上单调递增,在上单调递减,
又,,
所以,即
的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值,求解不等式恒成立问题,考查运算求解能力,逻辑推理能力,化归转化思想,是中档题.本题第二问解题的关键在于将问题转化为对,都有恒成立,进而构造函数求解函数最值即可.
9.(2021·河南高三模拟预测(文))已知函数
(1)求的单调区间;
(2)若对于任意的恒成立,求实数的最小值.
【答案】(1)增区间为,减区间为;(2)1.
【分析】
(1)由解析式确定函数定义域,利用导数研究的单调区间即可.
(2)由题设知在上恒成立,即恒成立,构造,利用导数研究单调性,进而确定最大值,即可求m的范围.
【详解】
(1)由,得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
∴的增区间为,减区间为;
(2)∵对于任意的,恒成立,
∴恒成立,即恒成立.
令,则,
令,则在上单调递增,
∵,
存在,使得,
当时,单调递增;当时,单调递减,由,可得,
,又恒成立,
,故m的最小值为1.
【点睛】
关键点点睛:第二问,应用参变分离法,将原不等式转化为在上恒成立,令只需即可,结合导数求最值.
10.(2021·北京海淀·清华附中高三模拟预测)已知函数,其中.
(1)若曲线在处的切线与直线平行,求的值.
(2)若函数在定义域內单调递减,求的取值范围.
(3)若不等式对恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)2;(2);(3).
【分析】
(1)对函数求导,由导数的几何意义即可得解;
(2)由函数在定义域内单调递减,可得导函数在该定义域上恒小于等于0,进而求解即得;
(3)对给定不等式等价变形,分离参数,再构造函数,利用函数最值求解而得.
【详解】
(1)函数定义域为,
,
依题意:,解得;
(2)由(1)知,,
令,则,
时,时,即在上递减,在上递增,时,
即,所以a的取值范围是;
(3),,
令,则,
令,则
令,则,即在(0,1]上递减,而,
存在有,时,即,时,即,
于是在上递增,在上递减,而,则时,
时,则在(0,1]上递增,,即,
所以a的取值范围是
【点睛】
思路点睛:利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
感悟升华(核心秘籍)
对于恒成立问题,最核心的方法是变量分离法;
1、变量分离时,注意不等式的方向是否改变
2、变量分离后,需构造新函数,通过借助导函数,求出新构造函数的最大(小)值;往往涉及到二阶导。
专题05 利用导数研究函数零点问题 (原卷版)-【高考数学之解题思路培养】 (全国通用版)学案: 这是一份专题05 利用导数研究函数零点问题 (原卷版)-【高考数学之解题思路培养】 (全国通用版)学案,共5页。学案主要包含了必备秘籍,例题讲解,实战练习等内容,欢迎下载使用。
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