专题03 直线与平面所成角（含探索性问题）(原卷版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

这是一份专题03 直线与平面所成角（含探索性问题）(原卷版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案，共11页。学案主要包含了必备秘籍，例题讲解，实战练习等内容，欢迎下载使用。
立体几何专题三：直线与平面所成角一、必备秘籍1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影。注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上。如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影。2、直线和平面所成角：（有三种情况）（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0。结论：直线与平面所成角的范围为。3、向量法设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，。二、例题讲解1．（2021·广东深圳市·高三月考）如图，在三棱锥中，，O为中点.（1）证明：平面平面；（2）若点在棱上，，且，求直线与平面所成角的正弦值.      2．（2021·山东济南·高三一模）已知正方体和平面，直线平面，直线平面.（1）证明：平面平面；（2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值.         三、实战练习1．（2021·浙江嘉兴·高三模拟预测）如图，在三棱锥中，底面是边长2的等边三角形，，点在线段上，且，为的中点，为的中点.(Ⅰ)求证：//平面；(Ⅱ)若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.          2．（2021·江苏南京·高三开学考试）如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.     3．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）如图，在正四棱柱中，点在棱上，． （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．      4．（2021·河南高三开学考试（理））在四面体中，、、两两垂直，等腰三角形的底边长为，点为中点，，是的中位线．（1）求证：平面平面；（2）线段上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值．       5．（2021·全国高三月考）在四棱锥中，底面为梯形﹐，平面.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.    6．（2021·山西祁县中学（理））如图，平面⊥平面，且菱形与菱形全等，且，为的中点．（1）求证：平面∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．   7．（2021·江苏南京·高三二模）如图，已知斜三棱柱，，，的中点为.且面，.（1）求证：；（2）在线段上找一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.     8．（2021·四川高三月考（理））如图所示，几何体中，四边形为菱形，平面，，，，，平面与平面的交线为．（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值的范围．  9．（2021·宁夏银川一中高三模拟预测（理））如图，在四棱锥中，侧棱⊥底面，，，，，是棱中点.（1）求证：平面；（2）设点是线段上一动点，且，当直线与平面所成的角最大时，求的值.      10．（2021·麻城市实验高级中学高三模拟预测）如图，已知平面平面，平面平面，，，，.（1）求证：；（2）若是线段上的动点，求直线与平面所成角正弦值的取值范围.     11．（2021·浙江高三期末）如图，在四棱中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，（1）求与平面所成角的余弦值；（2）点Q是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长．    12．（2021·湖南师大附中高三月考）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，中，，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）记平面与平面的交线为直线，点为直线上动点.求直线与平面所成的角的取值范围.   13．（2021·全国高三模拟预测）如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，点，分别是棱，上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求直线与平面所成角的正切值.    14．（2021·天津高三一模）如图，在多面体中，平面，是平行四边形，且，，，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.     15．（2021·沂水县第一中学高三模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.