专题04 数列求通项（构造法）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

数列

专题四：数列求通项 （构造法）

一、必备秘籍

类型1： 用“待定系数法”构造等比数列

    形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。

类型2：用“同除法”构造等差数列

（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。

（2）形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式

二、例题讲解

1．已知数列满足，且，求的通项公式。

【答案】

分析：符合类型1的标准形式，先构造

【解析】由可得：，所以是以1为首项3为公比的等比数列，所以，故.

2．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知数列满足.

求数列的通项公式；

【答案】（1）；

【分析】符合类型2的标准形式。

（1）将已知递推式两边同除以，由等差数列的定义和通项公式，可得所求；

【详解】

解：（1）由，（左右两边同除以）

可得=1，

则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，

则=，

即；

3．（2021·四川遂宁·高三三模（理））已知数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

【答案】（1）；

【分析】

（1）首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；

【详解】

（1）因为，令，则，又，

所以，

对两边同时除以，得，

又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，

所以，故；

三、实战练习

1．（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高三其他模拟（理））在数列中，；

（1）求；

【答案】（1）；

【分析】

（1）由题设可得，即可知为等比数列并写出通项公式，进而可得.

【详解】

（1）由题意知：，而，

∴是首项为4，公比为2的等比数列，故，

∴.

2．（2021·全国）已知等差数列中，，，数列满足，.

（1）求数列与数列的通项公式；

【答案】（1），；

【分析】

（1）根据等差数列的下标和性质先求解出的值，结合的值可求解出公差，由此可求解出的通项公式；采用构造等比数列的方法可证是等比数列，根据首项和公比可求解出的通项公式；

【详解】

（1）设数列的公差为，

∵为等差数列，∴，∴.

∵，∴，解得.

∴.

∴，∴，

∴.

∵，

∴是首项､公比均为的等比数列.

∴，∴.

∴，.

3．（2020·全国高三专题练习）已知数列的前项和为，且，数列满足，.

（1）求数列，的通项公式；

【答案】（1），；

【分析】

（1）利用求通项公式，构造是等比数列，求通项公式即可；

【详解】

（1）数列的前项和为，且，

当时，.

当时，，显然也适合上式.；

数列满足，.

整理得，

所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.

故， ；

4．（2020·河北冀州中学高三月考）已知数列中，.

（1）证明数列是等比数列并求数列的通项公式；

【答案】（1）证明见解析；；

【分析】

（1）推导出，由此能证明数列 是以3为公比，以为首项的等比数列，从而的通项，由此能求出 的通项公式．

【详解】

解：（1）因为，所以 .

所以，且 .

所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.

因此，从而 .

5．（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））已知数列满足，求出数列的通项公式；

【答案】（1）.

【详解】

（1）由，可得，而，可推出，

即，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．

∴，∴.

即数列的通项公式为.

6．（2020·全国高三专题练习）已知数列满足，.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；

（2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.

【详解】

（1），，

因此，数列是等比数列；

（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.

【点睛】

本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

7．（2021·河南安阳市·（理））已知数列，满足，，.

（1）证明为等比数列，并求的通项公式；

【答案】（1）证明见解析，；

【分析】

（1）由可得，然后得到即可；

【详解】

（1）由可得，

于是，即，

而，所以是首项为2，公比为2的等比数列.

所以.

8.   已知数列满足，求出数列的通项公式；

【答案】

【解析】由题， 则则数列是以为首项，2 为公差的等差数列，则