专题38 数列中的不等问题（解析版）学案

这是一份专题38 数列中的不等问题（解析版）学案，共19页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题38  数列中的不等问题【热点聚焦与扩展】关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解.本专题举例说常见数列不等问题的求解方法.（一）数列中的不等关系1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性.由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理.比如：含的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前项和也可看做数列等等.4、对于某数列的前项和，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决.也可以考虑相邻项比较.在相邻项比较的过程中可发现：，所以的增减由所加项的符号确定.进而把问题转化成为判断的符号问题.（二）利用放缩法证明不等式1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若，则（此性质为放缩法的基础，即若要证明，但无法直接证明，则可寻找一个中间量，使得，从而将问题转化为只需证明即可 ）（2）若，则，此性质可推广到多项求和：若，则: （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若，则，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：，（关于的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩.从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试.（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）② 等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可. （4）与数列中的项相关的不等式问题：① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明3、常见的放缩变形：（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择.注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的，如：（2），从而有：注：对于还可放缩为：（3）分子分母同加常数：此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系.（4）                               可推广为： 【经典例题】例1.【2020年高考浙江卷20】已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．【答案】（I）；（II）证明见解析【思路导引】（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式．（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立．【解析】（I）依题意，而，即，由于，∴解得，∴．∴，故，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．∴．∴，故（）．∴．（II）依题意设，由于，∴，故．∴．由于，∴，∴，即．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确应用累加法、累乘法解题．例2．【2020年高考天津卷19】已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．【思路导引】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后结合通项公式即可求得数列的通项公式；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得前n项和，然后利用作差法比较大小即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可．【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q．由，，可得d=1．从而的通项公式为．由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为．(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以．(Ⅲ)当n为奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和         ①由①得         ②由①②得，由于，从而得：．因此，，所以，数列的前2n项和为．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了数列通项公式的求解，指数型裂项求和，错位相减求和等，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是正确应用有关公式解决问题．例3．（2020·江西东湖·南昌二中高三三模）已知数列为等差数列，是其前项和，，.数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则能取到的最小整数为（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】因为数列为等差数列，是其前项和，，.设首项为，公差为，所以，解得，故，所以，所以.因为对于一切都有恒成立，所以，解得，故的最小整数为0.故选：B.例4．（2020·全国高三三模）已知等比数列的前项和为，若，且，则等比数列公比（    ）A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值【答案】A【解析】因为，所以，当时，，显然成立；当时，，则，因为，故；综上所述，.故选：A.例5．（2020·福建高三三模）设，是的前项和.若是递增数列，且对任意，存在，使得.则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，因为是递增数列，所以．因为，所以对任意，存在，使得，即：对任意，存在，使得，①当时，由题意可知：对任意，存在，成立，则成立，而，，解不等式无解．②当时，由题意可知：对任意，存在，成立，则成立，而，，恒成立.故选：D．例6．（2020·黑龙江哈尔滨·哈师大青冈实验中学高三三模）已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以，所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，所以，解得，故选：D例7．（2020·陕西西安·高新一中高三三模）已知数列的前n项和为Sn，且.（1）证明：数列是等比数列；（2）设，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）因为，所以时，，即；时，，作差得，化简得，即， ，故数列是首项为-6，公比为2的等比数列；（2）由（1）知，，即，，，故.例8．（2020·湖南高三三模）设数列的前项和为，，，．（1）证明：为等比数列，并求；（2）记为的前项和，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）证明详见解析；；（2）.【解析】（1）∵，∴∴，∴∴，∴．∵，∴，∴．∴为以3为首项，为公比的等比数列．∴，∴．（2）∵，∴，∴∵恒成立，∴ 【精选精练】1．（2020·湖北宜昌·高三三模）已知等差数列的首项，公差为，前项和为.若恒成立，则公差的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据等差数列的前项和为满足恒成立，可知且，所以且，解得.故选：A2．（2020·浙江高三三模）已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】，，，，.，.故选：D.3．（2020·河北辛集中学高三三模）已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（   ）A． B． C．49 D．【答案】B【解析】当时，，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故 ，由于是单调递增数列，，.故的最小值为，故选B.4．（2020·武威第六中学高三三模）已知等比数列，，，且，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，解得，∴，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴， ∴．故的取值范围是．选D．5．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中高一三模）已知，数列为等比数列，，数列的前n项和为，若对于恒成立，则的取值范围为（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】设数列的公比是，又，∴，解得，∴，∴，它是关于的增函数，∴，由，解得.故选：A.6．（2020·全国高三三模）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由题意可得．设，，因为函数是增函数，所以当时，函数取最小值，所以．故实数的最大值为．故选：B7．（2020·山西高三三模）数列的前项和为，项由下列方式给出.若，则的最小值为（    ）A．200 B．202 C．204 D．205【答案】C【解析】.∴，.而当时，，只需要，解得.∴总需要的项数为，故选：C.8．（2020·安徽蚌埠·高三三模）已知等差数列的公差不为0，，且满足成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前n项和，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，得，即，整理得，结合，解得，所以.（2）由（1）知， 故 .9．（2020·辽宁丹东·高三三模）在数列中，，.（1）设，证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）设为数列的前项和，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）因为，，所以.又，所以是首项为，公比为的等比数列.于是，故.（2）.两边同乘以得.以上两式相减得.故.10．（2020·河南信阳·高三三模）设数列，其前项和，又单调递增的等比数列， ， .(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)若 ，求数列的前n项和，并求证：.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）当时，，当时，，当时，也满足，∴，∵等比数列，∴，∴，又∵，∴或（舍去），∴；（2）由（1）可得：，∴，显然数列是递增数列，∴，即.）11．（2020·江苏如皋·高三三模）已知数列的前n项和为，满足，．（1）求证：数列为等比数列；（2）设，记数列的前n项和为，求满足不等式的最小正整数n的值．【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】（1）因为，，故，所以，即，所以．又当时，，，，故．所以为定值，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知，，．所以，，因为，即，解得，．所以满足不等式的最小正整数n的值为4．12．（2020·全国高三三模）已知等差数列满足，，数列的前项和为满足.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以，对于数列，当时，，解得.当时，，，两式相减，得，即，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.令，当时，.当时，，则.两式相减，得，得，而时也符合该式，所以，故题中不等式可化为.（*），当时，不等式（*）可化为，解得；当时，不等式（*）可化为，此时；当时，不等式（*）可化为，因为数列是递增数列，所以，综上，实数的取值范围是.