专题01 利用导数研究函数单调性问题（常规问题） (解析版）-【高考数学之解题思路培养】 （全国通用版）学案

这是一份专题01 利用导数研究函数单调性问题（常规问题） (解析版）-【高考数学之解题思路培养】 （全国通用版）学案，共12页。学案主要包含了必备秘籍，例题讲解，实战练习等内容，欢迎下载使用。
导数及其应用专题一：利用导数研究函数单调性问题一、必备秘籍1、求单调区间：①定义域；②求；③令，求增区间；④令，求减区间。2、已知单调性：①已知在上单调递增恒成立；②已知在上单调递减恒成立；二、例题讲解1．（2021·陕西省洛南中学高三月考（理））已知函数（1）求的单调区间.【答案】（1）减区间为；增区间为；【分析】（1）求导可得，，分别令，结合定义域，即得单调区间；【详解】（1）已知函数的定义域为令即，又因为，所以即令即，又因为，所以即的减区间为；增区间为. 感悟升华（核心秘籍） 1、求单调性是导数应用的简单题，特别提醒单调性问题最容易忽略定义域，尤其小题；2、求增区间，只需令，再于定义域取交集  2．（2021·全国高三模拟预测）已知函数（）．（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；【答案】（Ⅰ）；【分析】（Ⅰ）先确定函数的定义域，并对函数求异，再根据函数在上单调递增列出不等式组，即可求解；【详解】（Ⅰ）由题意，函数的定义域为，          且．恒成立设，，恒成立解得，则的取值范围为．              感悟升华（核心秘籍） 已知函数单调性问题。①已知在上单调递增恒成立；②已知在上单调递减恒成立；注意等价条件中不等式含（都含有）注意与求单调性做对比       三、实战练习1．（2021·广东高三月考）设函数，其中．（1）若，求函数的单调区间；【答案】（1）上单调递增；【分析】（1）由题设得，结合定义域判断其符号，即可知单调性.【详解】（1）由题设，且，则，∴在上单调递增.2．（2021·静宁县第一中学高三月考（理））已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；【分析】（1）先利用导数的几何意义求得a，从而得到函数，再利用导数法求单调区间；【详解】（1）直线的斜率为1．函数的定义域为，，所以，所以．所以，．由解得；由解得．所以的单调增区间是，单调减区间是．3．（2021·甘肃兰州·西北师大附中高三月考（文））已知函数（是自然对数的底）.（1）当时，求函数的单调区间；【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；【分析】（1）由，得到，，求导，由 ，求解；【详解】（1）当时，，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.4．（2021·甘肃高三开学考试（文））已知函数．（1）讨论的单调性；【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；【分析】（1）求导函数，由得增区间，由得减区间；【详解】解：（1）的定义域为，．令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增．5．（2021·浙江省富阳中学高三开学考试）已知．（1）若在定义城内单调递增，求的最小值;【答案】（1）;（2）证明见解析；（3）1.【分析】（1）由在定义城内单调递增，得到在上恒成立，取，可得;【详解】（1），，因为在定义城内单调递增，所以在上恒成立，则取，可得，所以，所以的最小值为;6．（2021·广西柳州·高三开学考试（文））已知函数.（1）当时，求函数的最值（2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）最大值是0，无最小值；（2）.【分析】（1）由，得到，然后利用导数法求解；（2）求导，根据函数在区间上是减函数，由在区间上恒成立求解.【详解】（1）当时，，则，当时，，当时，，所以当时，有最大值0，无最小值；（2），因为函数在区间上是减函数，所以在区间上恒成立，令，则，所以在区间上递减，所以，则，即，即，解得或，所以实数a的取值范围.7．（2021·全国）已知函数（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；【答案】（1）；【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得在恒成立，两边取以为底的对数，即在恒成立，令，根据函数的单调性求出参数的取值范围；【详解】解：（1）因为函数在单调递减，所以在恒成立，两边取以为底的对数，即在恒成立，设，所以在递减，所以，所以；8．（2021·全国高三月考（理））已知函数，，．（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；【答案】（1）；【分析】（1）求导可得，令，可得对恒成立，即可得，根据单调性，可得在恒成立，即可得答案.【详解】解：（1）由题意得，∴，令，∵对恒成立，∴，即在上为增函数∴∵在上单调递减∴对恒成立，即，∴9．（2021·四川达州·高三二模（文））已知函数．（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得，根据题意转化为当时，不等式恒成立，设，利用导数求得的单调性与最大值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，因为为上的增函数，可得当时，恒成立，即恒成立，设，可得，所以为减函数，可得，所以，即实数a的取值范围是．10．（2021·青海西宁·高三一模（文））设函数，其中常数.（1）若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；【答案】（1）；【分析】（1）由已知结合导数与单调性的关系可将问题转化为在上恒成立，分离参数后转化为求解函数的最值，然后构造函数即可求解；【详解】（1）因为函数在上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，设函数，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，所以，解得；11．（2021·江西南昌·高三开学考试（理））已知函数.（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；【答案】（1）；【分析】(1)对函数求导得，利用给定单调性列出恒成立的不等式即可推理作答；【详解】（1）定义域为，由得，因函数在定义域上单调递增，于是得在恒成立，即在恒成立，而，当且仅当，即时取“=”，则，所以实数a的取值范围是；12．（2021·眉山市彭山区第一中学高三开学考试（文））已知函数.（1）若在点的切线，与直线平行，求过点的切线方程；（2）设函数在区间内是减函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出导函数，由求得值，再计算后可得切线方程；（2）由在内恒成立，分离参数转化为求函数的最值．【详解】解：（1）由在点的切线，与直线平行，∴∵∴∴，解得∴设过点的切线与函数相切于，∴即，∴或，∴切点分别为，∴切线方程为：.（2）∵在区间内是减函数，∴在上恒成立即在上恒成立∴令，则，∴在递增，在递减又，∴，∴综上所述：a的取值范围为