专题12 函数的极（最）值问题（解析版）学案

专题12  函数的极（最）值问题

【热点聚焦与扩展】

从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．

从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式、方程等结合考查．在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.

(一)函数的极值问题

1、函数极值的概念：

（1）极大值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极大值，记作，其中是极大值点

（2）极小值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极小值，记作，其中是极小值点，极大值与极小值统称为极值

2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点：

（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

3、极值点的作用：

（1）极值点为单调区间的分界点

（2）极值点是函数最值点的候选点

4、在处可导，那么为的一个极值点

说明：①前提条件：在处可导

  ②单向箭头：在可导的前提下，极值点导数，但是导数不能推出为的一个极值点，例如：在处导数值为0，但不是极值点

  ③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：在处不可导，但是为函数的极小值点）

5、求极值点的步骤：

（1）筛选： 令求出的零点（此时求出的点有可能是极值点）

（2）精选：判断函数通过的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点

（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点

6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程.

7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点.

8、极值点与函数奇偶性的联系：

（1）若为奇函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极小（极大）值点

（2）若为偶函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极大（极小）值点

（二）函数的最值问题

1、函数的最大值与最小值：

（1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值

（2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值

（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点

（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到.没有最大值.

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个.

2．“最值”与“极值”的区别和联系

如图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是

（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.

（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

3、结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．

4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点.

5、利用导数求函数的最值步骤:

一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求在内的极值；

（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值

6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础

7、在比较的过程中也可简化步骤：

（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点

（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点

8、最值点的作用

（1）关系到函数的值域

（2）由最值可构造恒成立的不等式：

例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式.

【经典例题】

例1．（2020·四川邻水实验学校高三三模）若函数满足，且，则函数（    ）

A．既无极大值又无极小值 B．有极小值无极大值

C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值

【答案】A

【解析】因为 ，则，所以，为常数，则，所以，则，

所以无解，所以函数既无极大值又无极小值.故选:A.

例2．（2020·四川内江·三模）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

由题意在区间上有零点，

且在该零点的左侧附近，有，右侧附近有.

则在区间上有零点，

且在该零点的左侧附近，有，右侧附近有.

当时，为开口向上的抛物线且，故，无解.

当，则，舍.

当，为开口向下的抛物线，其对称轴为，

故，解得.故选：C.

例3．（2020·四川省绵阳江油中学高三三模）函数在的极值点个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】令，解得，

由于，

当时，；

当时，；

当时，.故选：B.

例4．（2020·全国高三三模）已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，令，

∴，∴时，在单调递增；

∴时，在单调递减.如图，∴，

∴当时，，∴，在上单调递增，不成立；

当时，在上单调增减，成立；

当时，有两个根，，

∵当时，，；

当时，，；

当时，，，

∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立.

综上，.故选：A

例5．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学三模）已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，函数，

可得，

又由函数在上有两个极值点，

则，即在上有两解，

即在在上有不等于2的解，

令，则，

所以函数在为单调递增函数，

所以且，

又由在上单调递增，则在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立，

又由函数在为单调递增函数，所以，

综上所述，可得实数的取值范围是，即，故选C.

例6．（2020·黑龙江哈尔滨·高三三模）若函数在上有最大值，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得.令，解得，.

当时，；当或时，.

故在处取得极大值

由，得，解得或.

∵在上有最大值，∴，∴，故的取值范围为.故选：B

例7．（2020·洛阳市第一高级中学高三三模）若定义域为的偶函数满足，且当时，，则函数在上的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则，，

当时，．

又为偶函数，当时，，

当时，，当时，，

在上递增，在上递减，

在上的最大值为，故选：A

例8．【2020年高考天津卷20】已知函数，为的导函数．

（Ⅰ）当时，

（i）求曲线在点处的切线方程；

（ii）求函数的单调区间和极值；

【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；．

【思路导引】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；

(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；

【解析】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，．可得，，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

(ii) 依题意，．

从而可得，整理可得：，

令，解得．

当x变化时，的变化情况如下表：

∴函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；

g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值．

【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数的几何意义，考查导数与函数的单调性、极值，考查考查应用导数证明不等式，考查数形结合及分类讨论思想，考查数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模等学科素养．解题的关键是合理消元，构造新函数，合理放缩解决问题．

【精选精练】

1．（2020·广西柳城县中学高三三模）函数在处有极值为10，则a的值为（    ）

A．3 B．-4 C．-3 D．-4或3

【答案】B

【解析】对函数求导得，

又在时有极值10，

，解得或，

当，时，,

故在无极值，故，故选：B．

2．（2020·衡水市第二中学高三三模）若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知有两个不等根．方程

，，有一根．中，另一根满足方程（），

令，，，

所以在上单调递增．所以，

即．所以．

故选：C．

3．（2020·河北易县中学高三三模）已知，是函数的两个极值点，则的最小值为（    ）

A． B．9 C．5 D．

【答案】A

【解析】由题可知．

因，为函数的两个极值点，

所以，，故，，

又，则且

所以，

当且仅当，即，时取得最小值．

此时，符合条件．故选：A

4．（2020·贵州贵阳一中高三三模）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对函数进行求导，得，当，，当或时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处函数取得极小值，因为函数在端点处的函数值无法取到，所以区间内必存在极小值点，且此极小值点为最小值，因此，解得，又因为，即函数在时的函数值与处的极小值相同，为了保证在区间上最小值在取到，所以，综上，.

故选：C

5．（2020·吉林高三三模）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，解得，

再根据二次函数性质得在上，

在上，所以函数在单调递增，

在单调递减，所以，

，，

所以.

所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是.

故选：B.

6．（2020·黑龙江尖山·双鸭山一中高三三模）若函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】时，；；

时，的值域满足，，，

由题得，

时，，时，；

时，的最小值为；

；

；

实数的取值范围是，.故选：A

7．（2020·甘肃兰州·高三三模）已知定义在上的函数，是的导函数，且满足，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，变形得，即，

（为常数），则，，得.

，，

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则.

故选：D.

8．（2020·山东泰安·三模）若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设，则

当时，，单调递减

当时，，单调递增

存在，成立

，

，

故选

9．（2020·福建高三三模）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，当时，.若时，的最大值为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由函数是偶函数，得关于对称，即，

因为，所以，所以为奇函数.

因为在上最大值为，所以在上最小值为.

当时，，令，得，

所以在递减，在递增，

所以当时，取得极小值，即最小值，

所以.故选：A.

10．（2020·浙江高三三模）已知函数（，是自然对数的底数）在处取得极小值，则的极大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意知，，令，解得：，所以，函数，此时，

由，即，解得：或；

由，即，解得：；

所以，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为；

所以，是函数的极大值点，此时极大值.故选：A.

11．（2020·湖南怀化·高三三模）关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在单调递增 B．有极小值为0，无极大值

C．的值域为 D．的图象关于直线对称

【答案】B

【解析】对于选项，

，

当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减；

即函数在上单调递减，在单调递增，故选项不正确；

对于选项,

当时，函数有极小值，无极大值，故选项正确；

对于选项,

因为函数在上单调递减，在单调递增，则

函数有最小值，即的值域为，故选项不正确；

对于选项，

因为，

所以的图象不关于直线对称，故选项不正确；故选：B

12．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数只有一个极值点，则实数a的取值范围是（    ）

A．（﹣∞，0]∪[，+∞） B．（﹣∞，0]∪[，+∞）

C．（﹣∞，0]∪[，+∞） D．（﹣∞，]∪[0，+∞）

【答案】A

【解析】由题意，函数，可得

因为函数只有一个极值点，即只有一个变号零点，

（1）当时，，易知是的唯一极值点，

（2）当时，方程可化为，

令，可得两函数都是奇函数，

所以只需判断时两函数无交点即可，

①当时，，可得是的唯一极值点，

故满足题意；

②当时，，所以在递增，且，

当时，，

设过原点的切线为，设切点为，

则，解得，

如图所示，当在直线下方（第一象限）时，

因为切线的切点为原点，所以也可以与切线重合，此时是唯一交点，

能满足的变换零点，即原函数的极值点，满足题意，

故，即，

综上可得，实数的取值范围是或，

即实数的取值范围是.故选：A.