专题02 利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论） (解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版） 学案

导数及其应用

专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论）

一、必备秘籍

往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。

二、例题讲解

1．（2021·山东莱州一中高三开学考试）已知函数（其中为参数）.

（1）求函数的单调区间；

【答案】（1）答案见解析；

【分析】

（1）求导可得，分和进行讨论即可；

【详解】

（1），，

当时，，在上递增，

当时，令，得，

时，单调递减，

时，单调递增；

综上：时，在上递增，无减区间，

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

2．（2021·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数（）

（1）求函数的单调区间；

【分析】

（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分和两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间，

【详解】

（1）函数的定义域是，

当时，对任意恒成立，

所以，函数在区间单调递增；

当时，由得，由，得，

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；

综上：时，的单调增区间为，无单调减区间.

时，的单调增区间为，单调减区间为.

3．（2021·广西高三开学考试（理））函数，

（1）讨论的单调性；

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；

【分析】

（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调性.

【详解】

（1），

①若，则，；单调递增；

②若则，当，或时，，单调递增；

当，，单调递减；

【点睛】

若函数的导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.

三、实战练习

1．（2021·全国高三月考）设函数，．

(1)求的单调区间

【答案】(1)答案见解析；

【分析】

(1)先对函数进行求导，构造函数再分，两种情况进行讨论，利用导数研究函数的单调性即可求解；

【详解】

(1)由题意可得的定义域为，．

令，

则．

当时，当时，，函数单调递增；

当时，当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，

单调递减区间为．

2．（2021·浙江舟山中学高三月考）已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

【答案】（1）当时，函数在递增；当时，函数在递增，递减，递增其中；

【分析】

（1）求，令可得，分别讨论和时，求不等式，的解集，即可求解；

【详解】

（1）定义域为，

，

令可得，

当即时，对于恒成立，

所以在上单调递增，

当即时，由可得：，

由可得：或，

由可得：，

所以在和上单调递增，

在上单调递减，

综上所述：当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为和

单调递减区间为.

3．（2021·山东济宁一中）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

【答案】（1）答案见解析；

【分析】

（1）对函数求导，进而讨论a的范围，最后得到函数的单调区间；

【详解】

（1）函数的定义域为，

时，恒成立，函数在上单调递增；

时，令，得．

当时，，函数为减函数；

当时，，函数为增函数．

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

4．（2021·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．

【分析】

（1）求出函数导数，讨论的范围结合导数即可得出单调性；

【详解】

（1）

当时，，所以在上单调递增；

当时，令，得到，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减．

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

5．（2021·嘉峪关市第一中学高三模拟预测（理））已知函数，，.

（1）求的单调区间；

【答案】（1）答案见解析；

【分析】

(1)求出函数的导函数，按a分类解不等式、即得；

【详解】

(1)对函数求导得，，

当时，，在上为增函数，

当时，由，解得：，而在上单调递增，

于是得当时，，在上为减函数，

当时，，在上为增函数，

所以，当时，的单调递增区间为，

当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；

6．（2021·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数，．

（1）试讨论函数的单调性；

【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．

【分析】

（1）求出导函数，设，对a分类讨论：当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．

【详解】

函数的定义域为.

（1），

设

当时，因为函数图象的对称轴为，．

所以当时，，，函数在上单调递减；

当时，令．得，

当时，，，当时，，．

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

7．（2021·嘉峪关市第一中学高三三模（理））设函数，其中．

（1）讨论的单调性；

【答案】（1）答案见解析；

【分析】

（1）求导，当时，可得，为单调递减函数；当时，令，可得极值点，分别讨论在和上，的正负，可得的单调区间，即可得答案.

【详解】

（1）

当时，，在内单调递减.

当时，由，有.

此时，当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

综上：当时，在内单调递减，

当时，在内单调递减，在单调递增.

8．（2021·贵州省思南中学高三月考（文））设函数.

（1）讨论函数的单调性；

【答案】(1)函数的单调性见解析；

【分析】

(1)求出函数的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x取值区间即得；

【详解】

(1)依题意，函数定义域为，，

当时，，在上单调递增，

当时，由得，当时，，当时，，

于是得在上单调递增，在上单调递减，

所以，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减；

9．（2021·河南（理））已知函数（，且）．

（1）讨论函数的单调性；

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；

【分析】

（1）求导得到，转化为二次函数的正负

进行讨论，分，两种情况讨论，即得解；

【详解】

（1）函数的定义域为，

，

令，为二次函数，，

①当时，，，

所以，故在单调递增；

②当时，，

令，

得，，

显然，

所以当，，

所以，故单调递增；

当时，，

所以，单调递减．

综上，当时，在单调递增，在上单调递减；

当时，在单调递增．

10．（2021·河南高三月考（文））已知函数（，且）.

（1）讨论函数的单调性；

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）求导，令，然后由，讨论求解；

【详解】

（1）函数的定义域为，

，

令，为二次函数，，

①当时，，，

所以，故在单调递增；

②当时，，令，

得，，

显然，

所以当，，

所以，单调递增；

当时，，

所以，单调递减.

综上，当时， 在单调递增；

当时，在单调递增，在上单调递减.

11．（2021·湖南高三模拟预测）设函数．

（1）求函数的单调递增区间；

【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数，其最小值为0．

【分析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；

【详解】

解：（1）函数的定义域为，

函数的导数，

当时，在上单调递增，在上单调递减

当时，在上单调递增．

当时，在上单调递减，在上单调递增．

综上可知，当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是．

12．（2021·安徽高三月考（文））已知函数．

（1）讨论的单调性；

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．

【分析】

（1）求导函数，分类讨论确定的正负，得单调区间；

【详解】

解：（1）由题意，可得且

①若，恒成立，则在上是增函数

②，则

所以当时，，当时，

则在上是减函数，在上是增函数

综上所述，若，在上是增函数

若，在上是减函数，在上是增函数

13．（2021·湖北武汉·高三月考）已知函数

（1）讨论函数的单调区间；

【答案】（1）答案见解析；

【分析】

（1）求得，分，，和四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；

【详解】

（1）由题意，函数的定义域为，

且，

①当时，令，解得，

令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

②当时，令，解得或，

令，解得，

所以在，上单调递增，在上单调递减；

③当时，则，所以在上单调递增，

④当时，令，解得或，

令，解得，

所以在，上单调递增，在上单调递减；

综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

14．（2021·双峰县第一中学高三开学考试）已知函数．

（1）讨论的单调性；

【答案】（1）当时，在R上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；【分析】

（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论，和情况下，导数的正负，即可得到的单调性；

【详解】

（1）函数，

求导   

由，得，

①当时，，在R上单调递增；

②当时， 在有，故单调递增；在有，故单调递减；在有，故单调递增；

③当时， 在有，故单调递增；在有，故单调递减；在有，故单调递增；

综上所述，当时，在R上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；