专题03 数列求通项（累乘法）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

数列

专题三：数列求通项 （累乘法）

一、必备秘籍

累乘法（叠乘法）

若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。

具体步骤：

将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：

整理得：

二、例题讲解

1．（2021·湖北武汉市·高三开学考试）设数列的前项和为，满足.

（1）求数列的通项公式；

【答案】（1）；

【分析】

（1）根据，即可求出数列的通项公式；

【详解】

（1）当时，，即，

当时，，

即，因此，

所以

，

经检验，时成立，所以；

2．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

【答案】（1）；

【分析】

（1）由，得，利用累乘法即可求得的通项公式；

【详解】

（1）由，

得，

当时，，得，

当时，，

则.

易得，符合，

所以；

三、实战练习

1．（2021·浙江温州市·高三其他模拟）已知正项数列满足，且

求的通项公式；

【答案】（1）；

【分析】

（1）通过因式分解可得，由累乘法可得的通项公式，由等比数列的通项公式可得结果；

【详解】

（1）由已知，得，

因为数列是正项数列，所以，

即，累乘得，，又也满足上式

故的通项

2．（2021·全国高三专题练习）已知正数数列满足，，求的通项公式；

【分析】

根据与的关系可得，利用累乘法求出，再由裂项相消法求和可得，裂项求和可得，即可求解.

【详解】

当且时，，

整理可得： 

，，…，，

当时，符合   

3．（2021·全国高三专题练习（文））已知数列满足，．

求数列的通项公式；

【答案】（1）；

【分析】

（1）根据递推关系式，由累乘法即可求解.

【详解】

（1）由，得，

∴，

∵，∴．

4（2020·浙江温州市·高三月考）已知数列满足，

（1）求数列的通项公式；

【答案】（1）；

【分析】

（1）将化为，然后利用累乘法求通项公式；

【详解】

解：（1）因为，所以，则

当时，满足上式，所以.

5．（2020·云南（理））已知数列的前项和为，，.求数列的通项公式；

【答案】（1）；

【分析】

(1)根据时，化简得，再利用累乘法求解即可；

【详解】

解：（1）由题意知，当时，①，②，

由①-②得，即，

所以，，…，，

以上各式累乘得，故，

又也适合，故；

6．（2020·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．

（1）求数列，的通项公式；

【答案】（1）()；()；（2）().

【分析】

（1）根据等差数列的通项公式、前n项和公式，结合已知条件求、即可得通项公式，由数列的递推式得及，即可得的通项公式；（2）根据（1）所得通项公式，应用错位相减法求其前项和.

【详解】

（1）数列的首项为，公差为，

由题意: ，解得：，

，，

又，所以，；

7．（2020·浙江高三二模）已知数列，，且．

（1）若的前项和为，求和的通项公式；

【答案】（1），；

【分析】

（1）设的前项和为，分时，时，即可得的通项公式，将代入递推关系式利用累乘法即可求的通项公式；

【详解】

（1）设的前项和为，

当时，，

当时，，

经检验满足，所以，

所以

即，

所以，可得，

即

因为满足，

所以

综上所述：，，