专题04 圆锥曲线定值问题(原卷版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

这是一份专题04 圆锥曲线定值问题(原卷版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案，共14页。学案主要包含了例题讲解，实战练习等内容，欢迎下载使用。
解析几何专题四：圆锥曲线定值问题一、必备秘籍在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为③定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。常考题型：①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题；④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题二、例题讲解1．（2021·安徽高三其他模拟（理））已知椭圆的离心率为，过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值．         2．（2021·全国高三专题练习）双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，．（1）求的离心率；（2）若在第一象限，证明：．         3．（2021·全国）已知椭圆，抛物线与椭圆有相同的焦点，抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线,的斜率分别为，.（1）求抛物线的方程及的值；（2）若直线交椭圆于两点，、分别是、的面积，求的最小值.     4．（2021·江西上饶市·高三二模（理））如图，在平面直角坐标系中，为半圆的直径，为圆心，且，，为线段的中点；曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于､两点，与所在直线交于点，，，求证：为定值.       5．（2021·安徽合肥·高三月考（文））已知抛物线上的动点M到直线的距离比到抛物线的焦点的距离大.（1）求抛物线的标准方程；（2）设点是直线上的任意一点，过点的直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值.       三、实战练习1．（2021·江苏南京·高三开学考试）在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右顶点分别为，.是椭圆的右焦点，且，.（1）求椭圆的方程；（2）不过点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，若，证明直线过定点，并求出定点的坐标.        2．（2021·全国高三月考）在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点（2，0），且双曲线的焦点到渐近线的距离为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为．(1)求双曲线的离心率；(2)求椭圆的方程；(3)过椭圆的左焦点作直线（直线的斜率不为零）与椭圆交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．       3．（2021·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆：的离心率为，点是椭圆短轴的一个四等分点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点A且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，且点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，求实数，使得，恒成立.       4．（2021·黑龙江实验中学高三三模（文））在平面直角坐标系中，已知椭圆：的上､下顶点分别为，，左焦点为F，左顶点为A，椭圆过点，且.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F且斜率为的动直线l与椭圆C交于P､Q两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得轴为的平分线？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.         5．（2021·湖北高三开学考试）在平面直角坐标系中，已知椭圆∶（）的左、右焦点分别为，是上一点，且与轴垂直.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线交于两点，证明∶为定值.          6．（2021·双峰县第一中学高三开学考试）椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上有两点,（异于椭圆顶点，且与轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．        7．（2021·安徽安庆·高三月考（文））已知椭圆：的离心率，直线经过椭圆的左焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过右焦点的直线：与椭圆相交于，两点，且与圆：相切，试探究的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由.        8．（2021·永州市第四中学高三月考）已知直线与是分别过椭圆的左，右焦点的两条相交但不重合的动直线．与椭圆相交于点，与椭圆相交于点为坐标原点．直线的斜率分别为，且满足．（1）若与x轴重合．．试求椭圆E的方程：（2）在（1）的条件下，记直线．试问：是否存在定点M，N，使得为定值？若存在．求出定值和定点的坐标：若不存在，请说明理由．       9．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）已知椭圆经过点，点为椭圆的上顶点，且直线与直线相互垂直.（1）求椭圆的方程；（2）若不垂直轴的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点在轴上方)，直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：.      10．（2021·沙坪坝·重庆八中）在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆交于点.（1）若点在第一象限且直线互相垂直，求圆的方程；（2）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；（3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.  11．（2021·沙坪坝·重庆南开中学）已知椭圆的左右焦点为、，离心率，过圆上一点（在轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆于、两点，交圆于两点（如图所示）．当切线与轴垂直时，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）（ⅰ）求的面积的最大值；（ⅱ）求证：为定值，并求出这个定值．            12．（2021·上海高三模拟预测）已知椭圆的一焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等边三角形，直线与椭圆的两交点间的距离为8.（1）求椭圆的方程；（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.      13．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.     14．（2021·广东高三月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，双曲线C的右顶点A在圆上，且.（1）求双曲线的标准方程；（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，问为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.       15．（2021·江苏淮安·高三三模）已知双曲线的离心率为2，为双曲线的右焦点，为双曲线上的任一点，且点到双曲线的两条渐近线距离的乘积为.（1）求双曲线的方程；（2）设过点且与坐标轴不垂直的直线与双曲线相交于点，，线段的垂直平分线与轴交于点，求的值.          16．（2021·河南商丘·高三月考（文））在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点到直线的距离比动点到点的距离大.记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程，并说明是什么曲线？（2）设在上，不过点的动直线与交于，两点，若，证明：直线恒过定点.       17．（2021·宁波市北仑中学高三开学考试）如图，已知，直线，是平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点；①已知，求的值；②求的最小值．   19．（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过定点（其中，）与抛物线相交于两点（点位于第一象限.（1）当时，求证：；（2）如图，连接并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.       20．（2021·山东高三三模）已知三点，为曲线上任意一点，满足．（1）求曲线的方程；（2）已知点，为曲线上的不同两点，且，，为垂足，证明：存在定点，使为定值．