专题05 解三角形（实际问题）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

三角函数与解三角形

专题五：解三角形（实际问题）

解三角形是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的解三角形问题在高考中逐步成为热点。通过具体的问题背景，考察正、余弦定理、面积公式等在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。本专题以单选题，多选题，填空题及解答题等形式体现解三角形在实际问题中的应用。

解决基于问题情境的解三角形问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决实际问题。解题要点：(1) 变量的确定；(2)利用正、余弦定理、面积公式等建立关于变量的方程；(3) 利用方程进行实际问题求解。

1、正弦定理及其变形

2、余弦定理及其推论

3、常用的三角形面积公式

（1）；

（2）（两边夹一角）；

4、基本不等式

①

②

5．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

6．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

7．方向角：相对于某一正方向的水平角．

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．

(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

(3)南偏西等其他方向角类似．

二、例题讲解

1．（2021·山西太原五中（文））如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路(长度均超过3千米)，在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米.

（1）求线段的长度；

（2）若，求两条观光线路与之和的最大值.

【答案】（1）3千米；（2）最大值为6千米．

【分析】

（1），．用余弦定理，即可求出；

（2）设，，用正弦定理求出，，展开，结合辅助角公式可化为，由的取值范围，即可求解．

【详解】

解：（1）在中，由余弦定理得，

，，

所以线段的长度为3千米；

（2）设，因为，所以，

在中，由正弦定理得，

.

所以，，

因此

，

因为，所以.

所以当，即时，取到最大值6.

所以两条观光线路与之和的最大值为6千米．

【点睛】

解三角形应用题的一般步骤：

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

2．（2021·上海市实验学校高三月考）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；

（1）当时，求四边形的面积.

（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求出的最大值.

【答案】（1）；（2）5

【分析】

（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；

（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.

【详解】

（1）连结，则

四边形的面积为

（2）由题意，在中，，由正弦定理

同理在中，，由正弦定理

令

时，即，的最大值为5

【点睛】

本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题

三、实战练习

1．（2021·江西九江一中（理））如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设．

（1）若，求的边长；

（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．

【答案】（1）千米；（2）当时，的边长取得最小值为千米.

【分析】

（1）由题意易得为等边三角形，从而可求；

（2）由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解．

【详解】

解：（1）设的边长为千米，由得，，

中，，，

为等边三角形，，

故，

即的边长为；

（2）设的边长为千米，

所以，，

中，，，，

由正弦定理得，，

故，

当时取得最小值，即的边长最小值．

【点睛】

方法点睛：解三角形应用题的一般步骤

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

2．（2021·上海高三二模）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．

（1）当时，求停车场的面积（精确到平方米）；

（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．

【答案】（1）平方米；（2），当时，停车场面积取得最大值.

【分析】

（1）由正弦定理求得，再计算停车场面积关于的函数关系式；

（2）首先利用正弦定理表示，并表示化简函数解析式，求出的最大值以及取最大值时对应的值．

【详解】

解：（1）在中，，

，

由正弦定理得，

即 ，即

则停车场面积

（平方米），

即停车场面积约为平方米．

（2）在中，，．

由正弦定理得，

即 ，即 ．

则停车场面积

，

即 ，其中 ．

．

因为，所以 ，

则当，即 时，停车场面积取得最大值．

所以当时，停车场面积取得最大值．

【点睛】

关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用，本题的关键是根据图象，利用正弦定理，正确表示，并利用三角函数正确表示停车场的面积.

3．（2021·上海浦东新·华师大二附中高三月考）由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，(为长度单位).陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

（1）求点到点的距离；

（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.

【答案】（1）；（2），面积的最小值.

【分析】

（1）连接，，在中，利用余弦定理求出，可求出，可得出的值，在中，利用正弦定理求出的值，进而利用勾股定理可求得；

（2）利用三角形的面积公式可得出，利用基本不等式可求得的最小值，进而可求得面积的最小值及其对应的的值.

【详解】

解：（1）连接、，

在中，，

由余弦定理可得：，.

在中，由余弦定理可得，.

在中，，

由正弦定理可得：，解得：.

在直角中，，；

（2），

.

.

，当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，.

【点睛】

方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

4．（2021·全国高三专题练习）已知中，的对边分别为且.

（1）判断的形状，并求的取值范围；

（2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，，若直线直线 ，且相交于点，求，间距离的取值范围.

【答案】（1）为直角三角形，；（2）.

【分析】

（1）根据向量数量积的运算法则，将原式化简整理，得到，推出，即可得出三角形的形状，再将化为，结合角的范围，以及三角函数的性质，求出值域，即可得出结果；

（2）记，其中，由此得出，再由余弦定理，得出，结合三角形的性质，即可求出结果.

【详解】

（1）由可得，

则，所以，则，所以，

因此，即，则为直角三角形，；

所以，所以，则，

因此，

因为，所以，则；

（2）不妨记，其中，则，

由余弦定理可得，，

因为，所以，则，所以，

则.

【点睛】

思路点睛：

求解三角形中的边长取值范围问题时，可根据正弦定理或余弦定理，将问题转化为求三角函数的值域问题，结合三角函数的性质，即可求解.

5．（2021·全国高三专题练习）如图，矩形是某个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在△区域内参观．在上点处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中、在线段（含端点）上，且点在点的右下方．经测量得知：米，米，米，．记（弧度），监控摄像头的可视区域△的面积为平方米．

（1）分别求线段、关于的函数关系式，并写出的取值范围；

（2）求的最小值．

【答案】（1），，；（2）平方米．

【分析】

（1）由正弦定理求得，利用极限值求得的范围．

（2）求出的面积，利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数式，然后利用正弦函数性质得最小值．

【详解】

解：（1）在PME中，，PE=AE-AP=4米，，，

由正弦定理得，

所以，

同理在PNE中，由正弦定理得，

所以，

当M与E重合时，；当N与D重合时，，即，

，所以；

（2）PMN的面积S

，

因为，所以当即时，

取得最小值为

所以可视区域PMN面积的最小值为平方米．

【点睛】

关键点点睛：本题考查解三角形的应用．掌握三角函数的性质是解题关键是．解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值．