专题05 利用导数研究函数零点问题 (解析版）-【高考数学之解题思路培养】 （全国通用版） 学案

这是一份专题05 利用导数研究函数零点问题 (解析版）-【高考数学之解题思路培养】 （全国通用版） 学案，共16页。学案主要包含了必备秘籍，例题讲解，实战练习等内容，欢迎下载使用。
导数及其应用专题五：利用导数研究函数零点问题一、必备秘籍1、利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．2、利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．二、例题讲解1．（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）讨论函数的零点的个数.【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是，极小值为，无极大值；（2）详见解析.【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得极值.（2）由（1）画出大致图象，由此对进行分类讨论，求得的零点个数.【详解】（1）函数的定义域为，且，令得，则，的变化情况如下表示：0单调递减单调递增∴得单调递减区间是，单调递增区间是.当，有极小值为，无极大值.（2）令有：当时，；当时，，且经过，，.当，与一次函数相比，指数函数增长更快，从而；当时，，，根据以上信息，画出大致图象如下图所示.函数的零点的个数为与的交点个数.当时，有极小值.∴关于函数的零点个数有如下结论：当时，零点的个数为0个；当或，零点的个数为1个；当时，零点的个数为2个.【点睛】求解含参数零点问题，可利用分离常数法，结合函数图象进行求解.  感悟升华（核心秘籍） 本题讨论零点的个数，将问题分解为与交点的个数，注意在利用导函数求单调性，极值后，画出草图，容易出错，本题利用极限时，，从而将草图画的更准确；三、实战练习1．（2021·河南高三开学考试（文））若函数，当时，函数有极值．（1）求函数的递减区间；（2）若关于的方程有一个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）递减区间为；（2）.【分析】（1）对函数进行求导，利用，解方程即可得，对函数求导，根据导数的性质列表，即可得答案；（2）作出函数的图象，直线与函数图象需有1个交点，即可得答案；【详解】（1），由题意知解得故所求的解析式为，可得，令，得或，由此可得 0 ↗极大值↘极小值↗所以函数的递减区间为.(2)由(1)知，得到当或时， 为增函数;当时， 为减函数，函数的图象大致如图，由图可知当或时， 与有一个交点，所以实数的取值范围为.【点睛】关键点睛：根据函数的单调性做出该函数的大致图像，进而利用数形结合求解，考查利用导数研究函数的极值、单调性、零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．（2021·陕西西安中学高三月考（理））已知函数.（1）试讨论函数的零点个数；（2）若函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当或时，函数只有一个零点；当时，函数有两个零点．（2）【分析】（1）通过求解函数的单调性，然后根据零点存在定理，通过讨论求解得出函数零点的个数；（2）根据（1）中结论，得到函数在上单调递增，将不等式转换为自变量的比较，最后得出结论．【详解】解：（1）根据题意，可得，则有：①若，则，此时可得函数在上单调递增，又因为，所以函数只有一个零点；②若，令，则有，所以，此时函数在上单调递增；，此时函数在上单调递减；即，则有：当时，则，此时函数只有一个零点；当时，即时，则，又因为时，；时，，根据零点存在定理可得，此时函数在上有两个零点．综上可得，当或时，函数只有一个零点；当时，函数有两个零点．（2）下面证明：，有，先证：，有，由（1）可知当时，，即当时，，故，，再证，；要证，，只需证明，，即证，，即证，令在上恒成立，即得函数在上单调递增， 故有，即，恒成立，即，有，当时，由（1）得，在上单调递增，则由上结论可知，在上恒成立，符合题意；当时，由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，此时当时，，不合题意，综上可得，，即．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．3．（2021·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数，．（1）试讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）.【分析】（1）求出导函数，设，对a分类讨论：当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）把有两个零点，转化为有两个解，令，二次求导后得到函数的单调性和极值，即可求出实数的取值范围.【详解】函数的定义域为.（1），设当时，因为函数图象的对称轴为，．所以当时，，，函数在上单调递减；当时，令．得，当时，，，当时，，．所以函数在上单调递减，在上单调递增．（2）若有两个零点，即有两个解，．设，，设，因为函数在上单调递减，且，所以当时，，，当时，，．以函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，，所以．即实数的取值范围为.4．（2021·沙坪坝·重庆南开中学）已知函数（）．（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【分析】（1）对函数求导，进而讨论a的符号，进而得到函数的单调区间；（2）由（1）可以判断，根据（1）可知，进而根据零点存在定理结合放缩法得到答案.【详解】（1）的定义域为R，，①当时，恒成立，所以在R上单调递增；②当时，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知，时，在R上单调递增，函数至多有一个零点，不合题意.时，在上单调递减，在上单调递增，因为函数有2个零点，所以，且.记，则，所以时，，单调递减，所以，则，于是，则x<0时，.所以当x<0时，，限定，则，所以当且时，.于是，若函数有2个零点，则.【点睛】在“，且”这一步之后，另一个特值不太好找，这时候需要利用得到，进而根据放缩法得到结论.5．（2021·赣州市第十四中学高三月考（文））已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数，在定义域内恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）在和上为减函数，在上为增函数；（2）.【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；（2）分析可知，直线与函数（且）的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】（1）因为的定义域为，且，则当时，，为减函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数，综上可得：在和上为减函数，在上为增函数；（2）令函数，因为不是方程的解，所以可得，构造函数（且），则，由可得，列表如下： 0增增极大值减减极小值增所以，，，作出函数的图象如下图所示：
 由图可知，当时，函数与函数的图象有三个不同的交点，因此实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.6．（2021·天津静海一中高三月考）已知函数在处的切线与轴平行．（1）求的值和函数的单调区间；（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围．【答案】（1）-9，单调增区间为和；单调减区间为；（2）.【分析】（1）根据即可求得的值，利用导函数求解单调区间；（2）令，转化为有三个不同的零点.【详解】（1）由已知得，∵在处的切线与轴平行∴，解得．这时由，解得或；由，解．∴的单调增区间为和；单调减区间为．（2）令，则原题意等价于图象与轴有三个交点．∵，∴由，解得或；由，解得．∴在时取得极大值；在时取得极小值．依题意得，解得．故的取值范围为．7．（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知函数．（1）当时，求在区间上的最值；（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）当时，求出导函数，求出函数得单调区间，即可求出在区间上的最值；（2）由，分离参数得，根据函数得单调性作图，结合图像即可得出答案.【详解】解：（1）当时，，，∴在单调递减，在单调递增，，，∴，.（2），则，∴在单调递增，在单调递减，，当时，，当时，，作出函数和得图像，∴由图象可得，.8．（2021·全国高三专题练习）已知函数的图象在点处的切线方程为.（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；（2）若函数在区间内有3个零点，求实数的范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1），，根据函数的图象在点处的切线的方程为．可得（1），（1），解得，，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出实数的取值范围．（2）由（1）可得：，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数在区间内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数的取值范围．【详解】解：（1），.函数的图象在点处的切线的方程为.（1），（1），，解得，..，，.当时，函数取得最大值，.对任意有恒成立，所以，..实数的取值范围是，.（2）由（1）可得：，，令，解得，1.列表如下：100单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：当时，函数取得极小值（1）；当时，函数取得极大值.要满足函数在区间内有3个零点，，解得，则实数的取值范围.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力于计算能力，属于难题．9．（2021·全国高三开学考试）已知函数.（1）若，讨论函数的单调性；（2）已知，若在内有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）求出导函数，对a进行分类讨论：①；②；③a=1；④a>1，利用导数研究单调性.（2）把在内有两个零点转化为关于x方程在上有两个不相等的实数根.令利用导数判断单调性，求出值域，即可求出a的范围.【详解】（1）的定义域为(0,+∞)，.①当时，令，得到；令，得到，此时在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；②当时，令，得到；令，得到或，此时在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数；③当a=1时,显然恒成立，此时在0,+∞)上为增函数；④当a>1时,令，得到；令，得到或.此时在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数.综上：①当时， 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；②当时， 在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数；③当a=1时，在0,+∞)上为增函数；④当a>1时，在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数.（2）在内有两个零点，即关于x方程在上有两个不相等的实数根.令则，令，则，显然在上恒成立,故在上单调递增.因为p(1)=0，所以当，有，即所以单调递减；当，有，即所以单调递增；因为，所以a的取值范围10．（2021·贵州贵阳一中（文））已知函数在上的最小值为．（1）求的值；（2）若函数有1个零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）利用导数分，，和四种情况求出函数的最小值，然后列方程可求出a的值；（2）由（1），可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图像可得答案【详解】解：（1）由，，当时，在上恒大于等于0，所以在上单调递增，，不合题意；当时，则时，，单调递减；时，，单调递增，所以，，所以，不满足；当时，在上，且不恒为0，所以在上单调递减，，适合题意；当时，在上，，所以在上单调递减，，所以，不满足；综上，．（2）由（1），所以，令，则，所以，且当时，；当时，；当时，，所以，，如图：函数有1个零点，所以或．