专题05 利用导数研究函数零点问题 (原卷版）-【高考数学之解题思路培养】 （全国通用版）学案

导数及其应用

专题五：利用导数研究函数零点问题

一、必备秘籍

1、利用导数确定函数零点的常用方法

(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．

(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．

2、利用函数的零点求参数范围的方法

(1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；

(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．

二、例题讲解

1．（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）讨论函数的零点的个数.

三、实战练习

1．（2021·河南高三开学考试（文））若函数，当时，函数有极值．

（1）求函数的递减区间；

（2）若关于的方程有一个零点，求实数的取值范围．

2．（2021·陕西西安中学高三月考（理））已知函数.

（1）试讨论函数的零点个数；

（2）若函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.

3．（2021·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数，．

（1）试讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．

4．（2021·沙坪坝·重庆南开中学）已知函数（）．

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围．

5．（2021·赣州市第十四中学高三月考（文））已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数，在定义域内恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.

6．（2021·天津静海一中高三月考）已知函数在处的切线与轴平行．

（1）求的值和函数的单调区间；

（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围．

7．（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知函数．

（1）当时，求在区间上的最值；

（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围．

8．（2021·全国高三专题练习）已知函数的图象在点处的切线方程为.

（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间内有3个零点，求实数的范围.

9．（2021·全国高三开学考试）已知函数.

（1）若，讨论函数的单调性；

（2）已知，若在内有两个零点，求的取值范围.

10．（2021·贵州贵阳一中（文））已知函数在上的最小值为．

（1）求的值；

（2）若函数有1个零点，求的取值范围．