专题05 数列求通项（倒数法）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

数列

专题五：数列求通项 （倒数法）

一、必备秘籍

用“倒数变换法”构造等差数列

类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.

类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符合专题四类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。）

二、例题讲解

1．（2021·全国高二专题练习）已知数列中，，，求的通项公式.

【答案】.

【分析】

已知式取倒数可证得是等差数列，从而易得通项公式．

【详解】

，两边取倒数得，即，

又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，

所以，故；

2．（2020·浙江省宁海中学高二其他模拟）已知数列满足，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

【答案】（Ⅰ）；

【分析】

（Ⅰ）对递推公式两边同时取倒数，进而变为，利用等比数列通项公式可得，化简即可得解；

【详解】

（Ⅰ），，

又，所以是以为首项，以为公比的等比数列，

，；

三、实战练习

1．（2020·上海高三专题练习）数列中，，，求的通项公式.

【答案】

【分析】

通过对递推关系式，变形可知，即数列为等差数列，再由等差数列的通项公式即可求解.

【详解】

， ，即

又，则

是首项为，公差为的等差数列，

，即，

故答案为：

2．（2021·全国高二期末）已知数列中，，

（1）证明：数列是等比数列

【答案】（1）证明见解析  .

【分析】

（1）由可得，然后可得答案；

【详解】

（1）证明：由，知

又，∴是以为首项，3为公比的等比数列。

3．（2021·青海海东·平安一中高一月考）已知数列，满足，.

(1)证明：数列为等差数列.

(2)求.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

(1)将已知递推关系式取倒数化简，利用等差数列的定义证明即可；

(2)先求出等差数列的通项公式，进而可得．

【详解】

(1)证明:

∵，，∴，

∴，

即是首项为，公差为的等差数列．

(2)由上述可知，

∴.

4．（2021·全国高二课时练习）已知数列满足，且．

求数列的通项公式．

【答案】（1）

【详解】

由得，（两边同时减1）

得：，所以是为首项，以2位公比的等比数列，

所以，得到，

5．（2020·河南（理））已知数列的首项，且．

（1）求数列的通项公式；

【答案】（1）；

【分析】

（1）由已知关系式可推得，知数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得，由此得到结果；

【详解】

（1），，，即，

数列是以为首项，以为公差的等差数列，

，．

6．（2020·浙江高二期中）已知数列满足，．

（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；

【答案】（1）证明见解析，；

【分析】

（1）根据数列的递推公式公式可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，即可求出的通项公式，

【详解】

解：（1），

，

，

，

，

，

数列是以为首项，以为公差的等差数列，

，

7．（2020·开鲁县第一中学高二月考（理））设数列的前项和为，已知，.

（1）求数列的通项公式；

【答案】（1）；

【分析】

（1）利用倒数法和构造法可得到数列为等比数列，结合等比数列通项公式可整理得到结果；

【详解】

（1）由可得：，即，，

数列是以为首项，为公比的等比数列，

，整理可得：.