专题06 极限与洛必达法则 (解析版）-【高考数学之解题思路培养】 （全国通用版）学案

导数及其应用

专题六：极限与洛必达法则

一、必备秘籍

法则1  若函数和满足下列条件：(1) 及；
　　(2)在点的去心邻域内， 与 可导且；
　　(3)，

那么 =。
法则2  若函数和满足下列条件：(1) 及；
　　(2)，和在与上可导，且；
　　(3)，

那么 =。
法则3  若函数 和满足下列条件：(1) 及；
　　(2)在点的去心邻域内， 与可导且；
　　(3)，

那么 =。

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

1. 将上面公式中的,,,洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理，，，，，，型。

3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

,如满足条件，可继续使用洛必达法则。

二、例题讲解

1.若不等式对于恒成立，求的取值范围？

当时，原不等式等价于.

记，则.

且时，，所以.因此在上单调递减.

；。

.所以。

2.已知函数.

（1）若在时有极值，求函数的解析式；

（2）当时，，求的取值范围.

解：（1）因为，所以

由在处取极值，得，求得，所以.

（2）当时，，即.

①当时，；

②当时，等价于，也即.

记，，则.

记，，则，因此在上单调递增，且，所以；

从而在上单调递增，所以.

由洛必达法则有：，

即当时，，所以，即有.

综上所述，当，时，成立.

三、实战练习

1：已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.

(1)求实数的值；

(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【解析】(1),  ；

函数在处取得极值，  ；

又曲线在点处的切线与直线垂直，；

解得：；

（2）不等式恒成立可化为，即；

当时，恒成立；当时，恒成立，

令，则；

令， 则；

令，则；

得在是减函数，故，进而

（或，，

得在是减函数，进而）．

可得：，故，所以在是减函数，

而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，

变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．

2.设函数.

（1）证明：当时，；

（2）设当时，，求的取值范围.

解：（1）易证. 

（2）由题设，此时.

①当时，若，则，不成立；

②当时，当时，，即；

若，则；

若，则等价于，即.

记，则.

记，则，.

因此，在上单调递增，且，所以，

即在上单调递增，且，所以.

因此，所以在上单调递增.

由洛必达法则有，

即当时，，即有，所以.

综上所述，的取值范围是.

3.设函数．如果对任何，都有，求的取值范围．

【解析】，

若，则；

若，则等价于，即

则.

记，

因此，当时，，在上单调递减，且，

故，所以在上单调递减，

而.

另一方面，当时，，

因此.