专题06 数列求和（分组法、倒序相加法）(解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版）学案

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数列专题六 ：数列求和（分组法、倒序相加法）一、必备秘籍1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.2、分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.二、例题讲解1．（2020·全国高三专题练习）定义在上的函数,,,求.【答案】【分析】由已知条件推导出，因此，由此能求出结果.【详解】函数，，可得，即有：，又，可得：，，即有.故答案为：.2．（2020·全国高三专题练习），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得的值。【答案】2020【分析】先证得，利用倒序相加法求得表达式的值.【详解】解：由题意可知，令S=则S=两式相加得，．故填：【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到的规律．3．（2021·全国）已知等比数列中，，且是和的等差中项.数列满足，且..（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设等比数列的公比为，由等差中项的性质建立等量关系，求解，从而求出数列的通项公式；（2）由等差中项的性质可知为等差数列，求出通项公式，分组求和即可.【详解】解：（1）设等比数列的公比为因为，所以.因为是和的等差中项，所以，即，解得所以.（2）因为，所以为等差数列.因为，所以公差.故.所以三、实战练习1．（2020·陕西渭南市·（文））已知函数满足，若数列满足，求。【答案】【分析】根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和.【详解】因为函数满足，①，②，由①②可得，，2．（2021·威远中学校高三月考（文））已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？．【答案】【详解】试题分析：因为，所以．因为数列是等比数列，所以，即．设 ①，又＋…＋ ②，①+②，得，所以．考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．3．（2021·广西柳州市·高三开学考试（文））已知数列为等差数列，，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的通项公式为，求数列的前n项和.【答案】（1）;（2）【分析】（1）设等差数列的公差为d,利用基本量代换列方程组即可求出首项和公差，写出通项公式；（2）用分组求和法求和.【详解】（1）设等差数列的公差为d.因为,,所以，，解得：.所以（2）由（1）可得：.所以4．（2021·全国高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式，用首项和公差表示已知条件，化简后解方程组求得首项和公差，进而得到通项公式；（2）由（1）可得通项公式，采用分组求和的方法，对的两个部分分别采用等比数列求和、等差数列的求和公式求和，进而得到.【详解】（1）设等差数列公差为， ①，，，成等比数列得：,整理得：,∵，∴②,由①②解得：，，（2）由（1）得：,由于为常数,∴数列为公比为的等比数列，.【点睛】本题考查等差数列通项公式和求和公式，等比数列的求和公式，数列求和中的分组求和,注意两点：一是求首项和公差时的方程组要先化简再消元求解更简便，而是要注意当数列是等差数列时，数列为公比为的等比数列.5．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知数列满足：.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1），；（2），.【分析】（1）利用与的关系，即可求出的通项公式；（2），利用分组求和即可求出数列的前项和.【详解】解：（1）当时，，当时，，①，②①-②得，，当时，满足通项公式，，.（2），，.6．（2021·全国（理））已知在等差数列中，为其前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为。【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由条件求得公差，写出通项公式；（2）求出通项公式，利用分组求和求得，且单增，找到符合的最小n值即可.【详解】（1）由等差数列性质知，，则，故公差，故（2）由（1）知，7．（2021·四川高三月考（文））在正项等比数列中，，且，，是等差数列的前三项.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）设出公比，根据已知列出式子即可求得公比，即可求得和的通项公式；（2）分别利用等差数列和等比数列的求和公式分组求和即可.【详解】解：（1）设数列的公比为，则由题可知，∴∴或，∵，∴，∴，∵的前三项分别是8，16，24，∴.（2）∵，∴，∴.8．（2021·全国高三二模）已知等差数列和正项等比数列满足：，，且是和的等差中项.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项公式列出方程求解即可；（2）根据（1）可得，分组求和即可求解.【详解】（1）设为数列的公差，为数列的公比，由题意得，即，解得或，∵数列各项均为正，所以，即.∴.，解得，∴（2）由（1）得：，所以.所以.9．（2021·南京市秦淮中学高三开学考试）已知 ()，，是函数的图象上的两点，且线段的中点的横坐标是.（1）求证：点的纵坐标是定值；（2）若数列的通项公式是，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）Sm＝【分析】（1）先根据中点坐标公式得x1＋x2＝1，再代入化简求得y1＋y2＝，即证得结果；（2）先求，再利用倒序相加法求，两者相加得结果.【详解】（1）证明：∵P1P2的中点P的横坐标为，∴＝，∴x1＋x2＝1.∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，∴y1＝，y2＝，∴y1＋y2＝＋＝＝＝＝＝，∴点P的纵坐标为＝.∴点P的纵坐标是定值.（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am＝令由（1）知＋＝.(k＝1，2，3，…，m－1) ∴倒序相加得∴2S＝ (m－1)，∴S＝ (m－1).又f（1）＝＝，∴Sm＝S＋f（1）＝ (m－1)＋＝.【点睛】本题考查利用指数性质运算、利用倒序相加法求和，考查基本求解能力，属基础题.10．（2020·全国高三专题练习）已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.【答案】；【分析】利用的关系即可容易得到；根据函数性质，利用倒序相加法即可求得.【详解】当 当时满足上式，故 ；∵=1∴ ∵ ①∴ ②∴①②，得【点睛】本题考查利用的关系求数列的通项公式，涉及倒序相加法求数列的前项和，属综合基础题.11．（2020·全国高三专题练习）已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，求.【答案】（1），（2）【分析】（1）利用与之间的关系即可求得；根据的函数性质，利用倒序相加法即可容易求得；（2）由（1）中所求，即可求得，利用错位相减法即可求得.【详解】（1）因为即当时，，当时，，，即是等比数列，首项为，公比为，；因为，.故….….①+②，得，（2）因为， …. ①… ②①－②得… 则，故.【点睛】本题考查利用的关系求数列的通项公式，以及利用错位相减法和倒序相加法求数列的前项和，涉及等比数列前项和的计算，属综合中档题.感悟升华（核心秘籍）倒序相加法特点：距首末两项“等距离”的两项之和都相等，多考选择填空题，与函数，数列向结合。感悟升华（核心秘籍）分组求和法适用：，从而进行分组；此类型考试难度容易，注意精确计算。